端点条件控制：把函数和积分压成导数

核心直觉

端点条件的本质是：

用 控制 ，必须先消掉常数自由度；用 控制 ，必须先消掉一次函数自由度。

用 控制

如果，则，于是，如果还有 ，则，这就是单端点控制。

例：单端点给出三角形上界

设、，且。则，从而

完整题目：1000 基础篇第11章 10。

两端点同时控制

如果，则同一个 能从左右两边同时估：

所以

进一步若 ，则，图像上就是一个帐篷上界。

例：双端点把常数压到一半

设、，且。左右两端分别给出

所以

完整题目：双端点帐篷上界。

控制整体积分

若 ，则

这是把 改写成带权的 。

若 ，也可以用更对称的形式：

这个权重在中点变号，常常可以和 的单调性结合。

用 控制 或

因为 看不见一次函数，所以必须通过端点条件消掉一次项。

典型条件：，在 上，高频母式是：

这来自核函数

因此

例：两次分部积分构造二阶核

设且。取，则，两次分部积分得到

核函数同时编码了“二阶导等于目标权重”和“端点边界项消失”。完整题目：880 第3章拓展题 5。

积分条件变端点条件

若题目给，可构造。此时，由 Rolle 定理存在使。积分条件由此转化为端点条件。

触发器

• 看到 ：先想 。
• 看到 ：左右各估一次，或者分部积分消边界项。
• 看到 和 ：尝试把 写成某个权函数的导数。
• 看到 和 ：尝试找核函数，或在对称中心展开。
• 看到 ：构造原函数，把积分条件变成端点条件。

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