一维 Green 公式视角：核函数与求积误差

核函数的构造原则

目标是用表示整体积分。若，寻找满足

的二次函数。唯一解为，两次分部积分后边界项消失：

例：端点为零时的积分估计

在上，若，则

从而

完整题目：二阶核函数表示。

梯形公式误差

一般无需在端点取零。相同的核函数给出

若，则

常数来自核函数的总质量：

中点公式误差

记。在中心处展开并对称积分，一次项积分为零：

更精确的积分余项为

两个核均非负。若连续，由积分中值定理存在使

完整题目：中点公式的误差估计与中值形式。

方法模板

1. 把目标写成。
2. 构造。
3. 用端点条件确定，确保分部积分的边界项消失。
4. 将整体量写成。
5. 估计题计算；中值型结论还要核验不变号。

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• 第11章题型母结构
• 端点条件控制
• Taylor 公式、积分余项与 Peano 核