常用泰勒展开式与高阶导公式速查

这一页怎么用

这一页集中归档第 4 章常用展开式和高阶导公式。证明与余项条件见 Taylor 公式与余项。使用顺序如下：

• 看到极限、局部近似、主部判断，先查常用展开式。
• 看到 、高阶导、模式识别题，先查高阶导公式。
• 需要读系数或反推高阶导时，优先切到求和形式。
• 若题目只关心主部，不必把整串都写完，截到刚刚够用即可。

常用麦克劳林展开

指数与三角

对数与分式

广义二项式

其中

最常见特例：

反三角

最常用的低阶主部

很多题并不需要整条展开，只需要最低几阶。最常用的是：

对应的等价无穷小也要顺手：

并且当 时，

常用高阶导公式

幂函数与负幂

若 是非负整数且 ，则。对正整数 ，

特别地，

指数函数

三角函数

对数与线性分母

这两条之间有桥梁关系：

莱布尼茨公式

凡是“多项式 标准函数”，都优先想这条。

指数三角混合型

设 、，并取角 满足，则

若 ，就化成

做题时怎么选

• 求极限、看主部：优先调展开式。
• 求 ：优先想“展开系数”。
• 看到轮换、指数倍乘、线性分母：优先调通式。
• 看到“多项式 标准函数”：优先莱布尼茨。

链接

• 理解桥梁：高阶导如何通向泰勒展开式
• 🏠 返回总览：第4章：复合、隐式与高阶导数
• 代表题：$x^2\ln(1-x)$ 的 $n$ 阶导数