形心、转动惯量与二重积分不等式

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方法选择

均匀薄片形心为、。
对坐标轴的转动惯量分别为、。
双重积分不等式先交换再平均，常得到。
形心估计可将写成的积分，再把目标化为单变号核与单调函数的积分。

必考

880 第6章基础填空 13

原题

求区域的形心坐标。

解析

区域关于轴对称，故。在右半平面径向上限为，左半平面为。面积为

对轴的静矩为

因此

880 第6章基础填空 14

原题

均匀薄片由与围成，求它对轴、轴的转动惯量。

解析

区域为。故

880 第6章综合解答 15

原题

设为上连续、正值、单调减少的函数。证明

解析

分母均为正，交叉相乘。右端减左端的分子记为，对双重积分交换后平均：

单调减少，所以，故，原不等式成立。

880 第6章综合解答 21

原题

设在上连续、正值且单调减少，。证明，

解析

记左端为。交换后，两式相加：，单调减少给出，其余因子为正，故。

880 第6章综合解答 23

原题

设，非负函数在上二阶连续可导，且 $严格单调递增$ ，区域的形心横坐标为。证明。

解析

因，，目标等价于，交换积分次序后，左端为

在左负右正，且。令，则

因为两个因子在两侧同号，并且严格单调性保证严格大于零。故。

880 第6章拓展 1

原题

设由轴、曲线、围成，并且每个的形心横坐标均为。记，（I）证明；

（II）求。

解析

题设给出，左端分部积分为，故，求导得，所以

解方程得，从而

拓展

880 第6章综合解答 16

原题

设由摆线与轴围成，求的形心。

解析

题单另列“基础解答 16”，OCR 章节中对应题干只出现于综合解答 16，两个来源指向同一题。摆线图形关于对称，故。面积为

对轴的静矩为

因此

880 第6章拓展 2

原题

设由曲线与轴围成，计算，

解析

。按水平条积分：，其中

故

考研笔记