凹凸性、拐点与导函数图像

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必考

1000 基础篇第5章 6

原题

设函数 且二阶可导，曲线 有拐点 ，，则 ____。

解析

由拐点坐标得 。令 ，则

在拐点处二阶可导，且两侧凹凸性改变，因此 。代入 ：，故 。

1000 强化篇第5章 7

原题

设

则 的单调区间及曲线的凹凸区间分别为（ ）。

• (A) 在 减、 增；在 内曲线为凹
• (B) 在 增、 减；在 内曲线为凹
• (C) 在 减、 增；在 内曲线为凸
• (D) 在 增、 减；在 内曲线为凸

解析

因 ，在 处分段：

故

函数先减后增，转折点为 ；曲线在整个区间向上弯、位于切线上方，教材术语为“凹”。选 。

拓展

1000 强化篇第5章 21

原题

设 在 内连续，其一阶导函数 的图形如图，并设在 存在处 也存在，则曲线 的拐点个数为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

的增减决定 的符号。左侧 U 形支在最低点由递减变递增，产生一次凹凸变化。靠近 时，左支递增、右支递减；题设保证 在 连续，因此 也是拐点。右支其余部分始终递减，不再产生凹凸变化。共两个，选 。

边界说明：判定拐点看函数连续与两侧凹凸性，导数在该点可以不存在。

相关概念

• 极值、驻点与拐点
• 凹凸性、弦斜率与对称点展开