几何最值与曲线综合分析

🏠 第5章概念导航 · 第二部分题库

必考

880 第2章基础解答 26

原题

设函数 由参数方程

确定。求 的单调区间、凹凸区间、极值和拐点。

解析

，故参数 与 同向，且 。一阶导数为，因此：

• ，即 时递增；
• ，即 时递减。

在 处取得最大值 。定义域端点 对应 ，为单侧最小值；当 时 ，该极限值不再取到。

对一阶导数关于 求导并除以 ，其符号化简为

故：

• 时 ，曲线向下弯、位于弦上方；
• 时 ，曲线向上弯、位于弦下方。

拐点参数为 ，坐标为

1000 强化篇第5章 25

原题

过椭圆

任意点作切线。切线夹在两坐标轴之间的线段为 。求 的最小长度及取到最小时的切点坐标。

解析

设切点为 ，切线为，两轴截距分别为 与 ，故，令 ，：，由 Cauchy 不等式，

等号要求，所以

切点为

拓展

1000 强化篇第5章 27

原题

设 满足

1. 求 及其定义域；
2. 求函数的极值。

解析

注意，原方程化为，积分得，由 得 ，所以初值问题的解为

最大定义区间为 。，函数在 递减，在 递增，故在 取得极小值

1000 强化篇第5章 28

原题

设 满足

求：

1. ；
2. 曲线的拐点及渐近线。

解析

微分方程为，乘积分因子 ：，由初值得

二阶导数为，它在 两侧变号，故拐点为

时 ， 时 ，所以渐近线为

相关概念

• 极值、驻点与拐点
• 无穷远主部与渐近线
• 参数曲线求导框架