切线、截距与局部线性几何
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必考
880 第2章综合解答 1
原题
已知 是周期为 的连续函数， 在 的某邻域内满足，其中 ，且 在 处可导。求曲线 在点 处的切线方程。
解析
在 处线性化：，代入已知式：，比较常数项与一次项，得 。周期性给出 ，并且
切线为
注
本题用导数定义求 ，也可以用以下结论：
若 以 为周期，并且 在 处可导，
那么 在 处也可导，且
只有当 处处可导时，我们才通常简写为： 也是周期函数。
880 第2章综合解答 16
原题
已知 在 上有二阶连续导数，，且 。设 是曲线 在 处的切线在 轴上的截距，。求，
解析
且 ，故 时 。切线方程令纵坐标为 ，得，求导：，
记 。由二阶 Taylor 公式，
于是 ，，所求极限为
注
这个 很值得记，本质就是：函数在该点以二次项起步。
1000 强化篇第5章 2
原题
设 在 处连续，且，则曲线 在 处的切线方程为 ____。
解析
，故，连续性给出 ，上式即 。切线为
1000 强化篇第5章 24
原题
设 在 处的切线在 轴上的截距为 ，则____。
解析
在 处，，所以，又，故
因此 。
拓展
1000 基础篇第3章 8
原题
设函数 连续，且，则曲线 在 处的切线方程为 ____。
解析
由连续性得 ，且
切线为
对话补充
心形线的极坐标切线
原题
求心形线在 对应点处的切线方程。
解析
极坐标曲线写成参数方程：
在 处，，切点为 。又 ，所以
，切线斜率为 ，故
若参数点满足 ，应判为竖直切线 ；只有在 同时为零时才需继续比较更高阶主项。
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