渐近线与无穷远主部

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完整检查顺序

1. 先求定义域及其有限边界；只要某一侧函数趋于无穷，该边界就是铅直渐近线。
2. 对 与 分别求

3. 根式含 ，正负无穷远必须分开；指数复合通常展开到 才能得到斜渐近线截距。

必考

880 第2章基础选择 17

原题

设 为连续函数，且存在，则曲线 有斜渐近线（ ）。

• A.
• B.
• C.
• D.

解析

括号内必须为 ，故，选 。

880 第2章基础解答 27

原题

求曲线的全部渐近线。

解析

定义域由根式与对数共同决定：，当 时，对数趋于 ，根式趋于 ，故有铅直渐近线

当 时，，所以 不是铅直渐近线。

正无穷远：

相乘得

负无穷远要使用 ：，故

全部渐近线为

1000 基础篇第5章 23

原题

曲线的渐近线条数为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

原定义域为再排除 。 时 ，根式趋于 ，故 是铅直渐近线； 时函数趋于 。在 处函数值有限，不产生铅直渐近线。

当 时，记

斜率为 。截距用恒等拆分，其中

因此 。

当 时，斜率为 ，同样拆分，由

得 。两侧局部主项为

共有一条铅直渐近线和两条斜渐近线，选 。这个拆分把常数项的两个来源分开：根式主部与指数因子的 修正。

1000 强化篇第5章 17

原题

曲线 的斜渐近线为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

时 ，故斜率为 。截距

选 。

1000 强化篇第5章 18

原题

曲线的斜渐近线为 ____。

解析

令 。在 处，因此 ，斜渐近线为

1000 强化篇第5章 19

原题

求曲线，的斜渐近线。

解析

截距需要保留到 ：，故

于是，斜渐近线为

1000 强化篇第5章 30

原题

求曲线的全部渐近线。

解析

时函数趋于 ， 时趋于 ，故有铅直渐近线 。无穷远处，取 得，全部渐近线为

拓展

1000 基础篇第5章 8

原题

曲线 的斜渐近线为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

，故选 。

1000 基础篇第5章 15

原题

曲线（ ）。

• (A) 有铅直渐近线，也有斜渐近线
• (B) 有水平渐近线，也有斜渐近线
• (C) 有且仅有铅直渐近线
• (D) 有且仅有水平渐近线

解析

定义域为 。 时函数趋于 ，故 为铅直渐近线； 时 ，故 为斜渐近线。选 。

1000 基础篇第5章 20

原题

曲线的渐近线条数为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

定义域为 。 均为铅直渐近线；正、负无穷远分别有 、。共四条，选 。

1000 基础篇第5章 21

原题

曲线（ ）。

• (A) 仅有斜渐近线
• (B) 仅有水平渐近线
• (C) 仅有铅直渐近线
• (D) 既有水平渐近线，又有铅直渐近线

解析

时分母约为 ，函数趋于 ，故 为铅直渐近线； 时函数趋于 ，故 为水平渐近线。选 。

1000 基础篇第5章 22

原题

曲线 的斜渐近线是 ____。

解析

，故

1000 强化篇第5章 10

原题

曲线 的斜渐近线方程为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

令 。比较 项：，故 ，即 。选 。

1000 强化篇第5章 15

原题

曲线 有渐近线（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

时函数趋于 ，故 为铅直渐近线。无穷远展开为，选 。

1000 强化篇第5章 16

原题

曲线的渐近线共有（ ）。

• (A) 条
• (B) 条
• (C) 条
• (D) 条或更多

解析

为铅直渐近线； 时 ，有水平渐近线 ； 时，还有一条斜渐近线。共三条，选 。

1000 强化篇第5章 29

原题

曲线的斜渐近线为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

斜率为 ，且，选 。

题库补充

的斜渐近线

原题

求曲线的斜渐近线。

解析

在 时，，因此，两端具有同一条斜渐近线

可去间断点与铅直渐近线

原题

曲线有几条渐近线？说明约去公共因子后如何保留原定义域信息。

解析

对 ，， 仍不在原定义域，但该点极限为 ，所以它是可去间断点。 时函数发散，故 是铅直渐近线； 时函数趋于 ，故 是水平渐近线。共有

公共因子约去后，必须单独保留被约点的原定义域排除，再用极限区分空点与铅直渐近线。

相关概念

• 无穷远主部与渐近线
• 局部主项与相消阶数