考研笔记

函数图像：

一句话结论

这题一定要先约分、再补定义域限制：图像本体其实是 ，但在 处要挖掉一个空点，所以真正的渐近线只有 和 。

核心内容

先化简：

但这里必须补一句：，所以原函数和在大部分地方图像相同，但在处不能直接填上去。

1. 定义域与空点

定义域是，因为

所以是一个可去间断点，也就是图像上的空点，不是渐近线。

2. 渐近线

  • 垂直渐近线：

因为约分后只剩下分母，所以真正会发散的是，并且

所以是垂直渐近线。

  • 水平渐近线：

由立刻得到

所以水平渐近线是，而且要注意：

  • 当 时，，图像从下方贴近 ；
  • 当 时，，图像从上方贴近 。

3. 交点、单调性和凹凸性

  • 与 轴交点：

其中 不在定义域里，所以只剩，因此零点是 ，它同时也是 轴交点。

  • 单调性：

对求导，，所以它在每个定义域区间上都严格递减。

  • 凹凸性：

因此：

  • 当 时，，图像向下弯；
  • 当 时，，图像向上弯。

4. 值域也要补一个洞

如果只看，它的值域是，但原函数还少掉了一个点 ，这会额外丢掉对应的函数值，所以原函数真正的值域是

最小例子 / 图示 / 代码

最稳的作图顺序是：

  1. 先约分成 ，认出双曲线骨架。
  2. 先画真正的两条渐近线： 和 。
  3. 再补定义域限制，单独在 挖一个空点。
  4. 标出零点 。
  5. 用“整段递减”和“左下右上弯”修正曲线方向。

易错点 / 使用边界

  • 最常见错误是把 也画成垂直渐近线；实际上它只是空点。
  • 不能因为约分后变成 ，就把原函数在 处自动补上。
  • 水平渐近线是 ，不是 。
  • 若题目继续追问值域，别忘了除了 之外，还要去掉空点对应的 。

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