函数图像：

一句话结论

先把渐近线画准： 是垂直渐近线，但只有右侧掉向 ；两端共同贴近的斜渐近线是 。

核心内容

• 定义域：。
• 与 轴交点：

所以零点是 。

• 与 轴没有交点，因为 不在定义域里。

先看渐近线。

1. 垂直渐近线

当 时，，所以，因此是垂直渐近线。

当 时，，所以，左侧函数值保持有限并从负侧贴近 轴。

2. 斜渐近线

设斜渐近线是，先求斜率：

再求截距：，把它改写成，于是

这里顺手说明一个特别容易犯的错：

不能因为 ，就直接把它在

里替换成 。

原因是：

• 虽然趋于 ，但它和 的差是 量级；
• 这个很小的差，再乘上前面的 ，会贡献一个不可忽略的常数项。

更直观地说，，所以

于是，你如果直接把 看成 ，其实是把这一阶信息整块丢掉了，所以才会误算成，记忆时可以把它类比成下面这个更简单的式子：，如果你粗暴地把 只看成 ，也会把最后这个常数项漏掉。

所以斜渐近线是，作图时最好直接记住：左右两端都会贴近这条直线。

3. 单调性和凹凸性

求导：

又因为，并且 ，所以，因此函数在上都严格递增。

再求二阶导：，所以两段图像都向下弯。

4. 结合极限读完整体图像

• 当 时，图像沿着 向左下延伸。
• 当 时，图像从负侧贴近 轴。
• 当 时，图像从 起步。
• 当 增大到 时，穿过 轴。
• 当 时，图像沿着 向右上延伸。

因为右半支从 一直递增到 ，所以整个函数的值域其实是 。

最小例子 / 图示 / 代码

最稳的作图顺序是：

1. 先把定义域里的断点 标出来。
2. 画出两条关键渐近线： 和 。
3. 标出零点 。
4. 用“左右两段都递增”确定走向。
5. 用“两段都向下弯”把曲线压成正确的弧度。
6. 最后检查左支： 时曲线应贴近 ；画成冲向无穷即为错误。

易错点 / 使用边界

• 最容易错的是把 也画成发散；实际上左极限是 。
• 不要只看到 就停下，斜渐近线不是 ，还要继续把下一阶常数项算出来。
• 这题有垂直渐近线，也有斜渐近线；两种渐近线不能漏任何一条。
• 由于 ，两段都递增；不要受“右侧先在负半轴”影响而误画出局部极小值。

链接

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• 相关题目：$(2x-1)e^{1/x}$ 的斜渐近线