左右极限、连续与间断点

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必考判断顺序：

1. 先找危险点：分母为 、绝对值变号、取整函数跳变、指数 、极限定义函数的分界点。
2. 分别求左极限、右极限。
3. 再看函数值是否已定义。
4. 分类：可去、跳跃、无穷、振荡或第二类。

代表题详解

来源：880 基础选择 11。

原题：函数在 处的间断类型。

A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点

解析

右极限：，第一项

第二项，所以，左极限：，第一项趋于 ，第二项趋于 ，所以，左右极限相等，但 无定义，因此 是

模板

含 的左右极限：

含 、、 时，必须左右分开。

必考同类题

880 基础解答 8

原题：讨论函数

的连续性。

对 ，分子分母同乘 ：，于是

在 左极限为 ，右极限为 ；在 左极限为 ，右极限为 。 故 均为跳跃间断点，在原定义域 的其余点连续。原式在 无定义；若讨论连续延拓，补定义 即可。

880 综合选择 11

原题：下列选择中极限存在的是（ ）。

A. B. C. D.

逐项检查四个极限是否存在。常见结论：

• 在 左右极限不同。
• 的对数主项含 ，振荡。
• 子列行为不同。
• 。

存在者为

880 综合选择 13

原题：设，则在 处（ ）。

A. 可导 B. 间断点 C. 不可导但连续 D. 无法判定

分段：

积分函数一定连续；在 处左导数为 ，右导数为 ，所以

880 综合填空 6

原题：设

其中 表示不超过 的最大整数，求 。

右侧：

左侧：

左右相等要求，答案：

1000 基础篇第 1 章 6

原题：下列选项中，极限存在的是（ ）。

A. B. C. D.

分别看左右：

• A： 左右异号，，不存在。
• B： 左右分别趋于 ，不存在。
• C： 左右异号，前因子同为 ，不存在。
• D： 与 同时变号，乘积左右同趋 。

答案：

1000 基础篇第 1 章 18

原题：已知 存在，且，求 。

设，由 ，令 ：，所以

1000 基础篇第 1 章 21

原题：函数，的可去间断点的个数为（ ）。

A. B. C. D.

危险点为 。

在 ：，分母 ，可去。

在 ：

极限为 ，可去。

在 ，分母多出 ，极限发散。 可去间断点个数：

1000 基础篇第 1 章 23

原题：设，则 是 的（ ）。

A. 跳跃间断点 B. 可去间断点 C. 振荡间断点 D. 无穷间断点

左右极限为 与 ，故

1000 强化篇第 1 章 13

原题：

在 处（ ）。

A. 左极限存在，右极限不存在 B. 左极限不存在，右极限存在 C. 左、右极限都存在，但不相等 D. 连续

由，故

当 极限为 ； 值为 ； 发散。 在 处：

1000 强化篇第 1 章 17

原题：设函数 在 的某邻域内有定义，且，则以下叙述：

① ； ② ； ③ ； ④ 当 时， 是 的高阶无穷小。

正确叙述的个数为（ ）。

A. B. C. D.

由得，极限条件只控制去心邻域，不能确定 。

因此只有“ 是 的高阶无穷小”正确，正确个数

1000 强化篇第 1 章 18

原题：函数 在 的某邻域内有定义，则是的（ ）。

A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

若 存在，右侧非负、左侧非正，公共有限极限只能为 。于是，反向也成立。故为

1000 强化篇第 1 章 32

原题：已知

存在，求 的值。

右侧：

左侧：

极限存在要求，所以

1000 强化篇第 1 章 36

原题：设 ，则 是 的（ ）。

A. 连续点 B. 跳跃间断点 C. 可去间断点 D. 第二类间断点

由 ，令 ，得，当 ，；当 ，。

故 为

1000 强化篇第 1 章 37

原题：函数，的第二类间断点的个数是（ ）。

A. B. C. D.

危险点为 。，在 与 ，均有 ，为可去间断点。

在 ，，也无第二类行为。 第二类间断点个数：

1000 强化篇第 1 章 38

原题：设

为使 对于一切 都连续，求常数 的最小正值。

当 ，，得 。 当 ，主项比为 。 在 ，直接代入极限得 。

连续要求，最小正值

补充题

880 基础解答 7

原题：求，的间断点，并指出其类型。

危险点：

• ：，指数趋于无穷，第二类间断点。
• 无定义：，指数趋于 ，极限为 ，可去间断点。

拓展同类题

880 综合选择 5

原题：的无穷间断点的个数为（ ）。

A. B. C. D.

检查 。 为可去型； 处指数或分母导致无穷行为。 无穷间断点按左右极限发散的点计数，答案为

1000 基础篇第 1 章 20

原题：设，其中 。若 在 上连续，求 。

令，因 ，在 处，因子 ，所以

在 处，因子 ，所以

由，得到

补连续值：，所以

这里可直接取极限的只有趋于非零常数的外部因子。 与 、 参与主项相消，需保留为差商。

1000 基础篇第 1 章 22

原题：函数的第二类间断点的个数为（ ）。

A. B. C. D.

危险点为 。 可去； 与 为无穷间断点。 第二类间断点个数：

1000 强化篇第 1 章 35

原题：，有（ ）。

A. 两个跳跃间断点，一个无穷间断点 B. 两个可去间断点，一个无穷间断点 C. 一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个无穷间断点 D. 三个无穷间断点

危险点为 。 为无穷间断点； 左右极限有限但不相等，为跳跃间断点。 答案：

易错点

• 间断点分类先看左右极限，再看函数值。
• 可去间断点要求左右极限存在且相等，函数值缺失或取错。
• 跳跃间断点要求左右极限都存在但不相等。
• 第二类间断点包含无穷间断和振荡间断。
• 极限定义出来的函数要先分 。

链接

• 第一部分题库：极限、连续与数列
• 极限定义证明细节：点值、左右与平均斜率
• 导数极限与平均斜率极限