极限定义证明细节：点值、左右与平均斜率

它解决什么问题

证明题和判断题最容易丢分的地方，是把“极限能控制的东西”说过头。

极 限 只 控 制 趋 近 过 程 ， 不 自 动 控 制 点 值 、 连 续 性 和 导 数 振 荡 。

这一页专门记那些扣细节的边界。

若题目只给，它只限制且趋近时的行为。因为，所以，从而

但这仍然不能推出，也不能推出在处连续。可以把时的固定好，再任意定义，原极限仍不变。

做判断题时看到以下结论要警惕：

若题目问是否存在，一定要注意分母为，不能按处理。

当时，，当时，，若双侧极限存在，左右只能同时趋于。因此

存 在

这个题的坑在左右符号。

若，则可以推出，严格证明用拉格朗日中值定理。固定，对用拉格朗日中值定理，存在，使，当时，，所以右边趋于。再由

得到。

反过来不一定。反例：，则，但不收敛。