函数性质、复合单调与奇偶有界

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题型入口

函数性质题先按四个入口判断：

奇偶性：看与。
周期性：含通常破坏周期。
有界性：同时看局部危险点和无穷远。
复合单调性：内层值域决定外层使用的区间。

代表题详解

来源：对话 2026-08-09 15:36。

原题：复合函数的单调性怎么判断？

解析

设在区间上单调，在上单调：

递增、递增，则递增。
递增、递减，则递减。
递减、递增，则递减。
递减、递减，则递增。

记法：

同 向 为 增 ， 反 向 为 减 。

可导时直接看，判断外层单调性时，看上的，不必看的整个定义域。

拓展同类题

880 基础选择 4

原题：设当时，都是无穷大，则当时，下列结论中正确的是（）。

A. 是无穷小。 B. 是无穷大。 C. 。 D. 是无穷小。

若都是无穷大，都是无穷小，因此是无穷小。答案取

880 基础选择 5

原题：当时，是（）。

A. 无穷大 B. 无穷小 C. 有界但非无穷小 D. 无界但非无穷大

沿的点列绝对值趋于，沿的点列为。

故它无界，但不是无穷大：

补充题：880 基础解答 1

原题：设是定义在内的函数，证明：可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

任意定义在上的函数可分解为，第一项为偶函数，第二项为奇函数。

补充题：880 基础解答 2

原题：设函数满足，其中均为常数，且，求的表达式，并证明是奇函数。

由以及把换成得，解线性方程组：

该表达式满足，故为奇函数。

补充题：880 基础解答 3

原题：设函数在区间内有定义，其中，且对任意，有，证明：在内单调增加。

若，且，则，所以，单调增加。

880 综合选择 14

原题：设

则（）。

A. 在内有界。 B. 存在，当时，有界，当时，无界。 C. 存在，当时，无界，当时，有界。 D. 对任意，当时，有界，但在内无界。

局部由控制；无穷远处有界，故在全体实数上有界，答案为。

易错点

复合函数判断外层单调性时，只看内层值域。
有界性要同时检查危险点和无穷远。
型振荡配上放大因子，常见结论是无界但无极限。
奇偶分解模板固定为与。

考研笔记