数列无穷大量与无界量：乘积趋于无穷的反例模板

它解决什么问题

数列判断题里，“无界”和“无穷大量”很容易混在一起。最关键的边界是：

无 穷 大 量 一 定 无 界 ； 无 界 量 不 一 定 是 无 穷 大 量 。

无穷大量要求数列最终离任何有限范围都远；无界量只要求它能跑得任意大，中间可以反复回到小值。

典型反例：

为 偶 数 为 奇 数

它无界；奇数项恒为，故不满足无穷大量定义。

取

为 偶 数 为 奇 数 为 偶 数 为 奇 数

则，但和都不满足无穷大量定义。

若是非零无穷小量，且是无穷大量，则

因为且，所以，即是无穷大量。

很多教材里表示“无穷大量”，即；若题目明确写，就还要追踪符号。比如且时，会趋于，不趋于。

所以做题时要先看清题目里的是在说“无穷大量”，还是“正无穷”。

判断“乘积趋于无穷”类命题时，优先准备两种反例：

若题目额外给某个因子是非零无穷小，再用除法和绝对值证明另一个因子为无穷大量。