数列命题真假与反例
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命题题先分三类：
- 极限运算型：能否由和、差、积推出各自极限。
- 有界/无界/无穷大型：量词完全不同，反例优先。
- 单调有界型：单调和夹逼经常给出存在性。
反例优先用三种：再按需要组合成和差抵消、积错位、符号交替。
代表题详解
来源：880 综合选择 7。
原题：设 与 为两个数列，判断下列说法中正确者。
A. 若 与 无界，则 无界。
B. 若 与 无界，则 无界。
C. 若 与 中一个有界、一个无界，则 无界。
D. 若 与 均为无穷大，则 一定为无穷大。
解析
A：若 均无界，则 无界。
取，二者均无界，但 ，A 错。
B：若二者均无界，则乘积无界。
取
则 都无界，但，B 错。
C：一个有界、一个无界，乘积无界。
取，乘积恒为 ，C 错。
D：若二者均为无穷大，则乘积为无穷大。
当 时，对任意 ，充分大后 ，从而 。D 对。
答案：
模板
- “无界”只说明有子列任意大。
- “无穷大”要求从某一项以后持续大。
- 和可以抵消，积可以错位，零因子可以压掉无界量。
必考同类题
880 基础选择 10
原题：设 与 均不存在，则下列选项中正确的是（ ）。
A. 若 不存在，则 必不存在。
B. 若 不存在，则 必存在。
C. 若 存在，则 必不存在。
D. 若 存在，则 必存在。
已知 均不存在。
若 与 都收敛，则
也都收敛，矛盾。
所以当 收敛时， 必不收敛。
答案：
880 综合选择 6
原题：下列结论中错误的是（ ）。
A. 设 ，则存在 ，当 充分大时，有 。
B. 设 ，则当 充分大时，有 。
C. 设 ，若 ，则 。
D. 若 ，则当 充分大时，。
A：若 ，取 ，充分大后 ，正确。
B：若 ，取间距的一半即可，正确。
C：闭区间夹住每一项，极限仍在闭区间内，正确。
D：反例 ，则 ，但恒不成立。
错误项：
880 综合选择 8
原题：设数列 单调减少， 单调增加，且，则下列选项中正确的是（ ）。
A. 。
B. 均存在，且 。
C. 存在， 不存在。
D. 与 均不存在。
令 。充分大时 ，于是，所以单调减少的 有下界；同时，所以单调增加的 有上界。两数列均收敛，设极限为 ，则 ，答案：
880 综合选择 10
原题：设 为数列，则下列结论中正确的是（ ）。
① 若 收敛，则 收敛；
② 若 单调，则 收敛；
③ 若 ，且 收敛，则 收敛；
④ 若 ，且 单调，则 收敛。
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
① 收敛不能推出 收敛，例如 时 。
② 单调不能推出 收敛，例如 。
③ 若 且收敛， 由连续性收敛。
④ 若 且单调，则 单调有界收敛，再由连续性得 收敛。
答案：
1000 强化篇第 2 章 1
原题：若 满足 ，则以下结论：
① 或 ；
② 且 ；
③ 与 中一个是无穷大量，另一个是无界量；
④ 当 是非零无穷小量时，。
正确结论的个数为（ ）。
A.
B.
C.
D.
①错。取
则 ，但两个因子都不趋于 。同一反例也说明③错：两数列都无界，却都不满足无穷大量定义。
②错。取 。
④按“ 表示绝对值趋于无穷”的教材口径成立。若 且 ，则，所以正确结论的个数为
严格要求 时，④还需 最终为正；反例 满足 ，但 。题面未写符号条件时，应单独标明这一边界。
1000 强化篇第 2 章 3
原题：已知数列 发散，，则（ ）。
A. 当 时， 收敛。
B. 当 时， 收敛。
C. 当 时， 发散。
D. 当 时， 发散。
设 ，且 发散。
在 时，函数在 上严格单调且有连续反函数。若 收敛，则也收敛，矛盾。
所以 时 发散。
答案：
补充题：复合数列的信息锁定
已知 ，判断下列说法：
① 若 存在，则 存在；
② 若 存在，则 存在；
③ 若 存在，则 存在，但 不一定存在；
④ 若 存在，则 存在，但 不一定存在。
对 ，中间变量 ，而 在该区间上不具有严格单调性。取 ，其中 ，则 恒定， 与 均不收敛。因此①、③错误。
对 ，中间变量 ， 在 上严格递增且反函数连续，所以复合数列收敛可推出 收敛。取同一反例 ，则 恒定而 不收敛。因此②错误，④正确。
严格单调的外层函数能够锁定中间变量；若下一层函数丢失符号信息，结论不能继续传递到原数列。
易错点
- “有界”是全体项被一个常数控制；“无界”只需某些项跑远。
- “无穷大”是从某项以后持续超过任意大数。
- 两个发散数列的和、差、积没有固定结论。
- 对命题题，先用反例击穿，再证明剩下的选项。
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