中间变量极限定理：严格单调与反函数边界

它解决什么问题

有些数列题直接给的是的极限。中间变量极限定理处理的是： $什么时候收敛可以推出收敛？$

核心是外层函数在中间变量所在区间上能不能一一分辨不同位置。

严 格 单 调 函 数 像 秩 序 检 测 器 ： 它 不 会 把 两 个 不 同 方 向 的 振 荡 压 成 同 一 个 极 限 。

设，在区间上连续且严格单调。若

并且在处连续，则，当是闭区间时，连续且严格单调的把映成闭区间，反函数在上连续，上述条件可直接使用。

直观理解：如果在两个不同位置之间来回跳，严格单调的会保留这种位置差异，也不可能稳定收敛。

只给“严格单调”仍可能在无穷远丢失信息。例如在上严格递增，，但没有有限极限。此时位于的边界且不属于值域。

若，则在上非严格单调，因为。所以有极限，不能推出有极限。

反例：，此时不收敛，但恒定。

若，则在上严格递增，所以有极限能推出有极限。

但在上非严格单调，与有同一个余弦值，所以不能进一步推出收敛。