隐式定义数列与根的渐近

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隐式数列先从定义式本身拿信息：

常见结构：

• ：先看 单调和增长阶。
• ：先取对数，再找 靠近哪个端点。
• ：先证 ，再用局部展开求比例。

代表题详解

来源：880 综合选择 9。

原题：设 表示方程的正实根，判断相关数列的敛散性。

A. 收敛。 B. 发散。 C. 收敛。 D. 发散。

解析

令，在 上，，所以 存在唯一，且，由定义式直接消元：，因此，再看

由定义式取对数：，令 ，则

所以

相应选项中 收敛。

模板

形如 ：

不要先猜反函数；定义式能直接给出比例。

必考同类题

880 综合解答 4

原题：设 。

（I）证明：方程 在 内有且仅有一个实根 ； （II）设 满足 ，证明：，且。

在 上， 严格递增，故 严格递减；又

由介值定理和严格单调性，方程有且只有一个根 。

方程等价于，所以

由于 ，

不等式 等价于 。 时结论直接成立；当 时，，故 ，即 。同时 。再由 得 ，所以 。

880 综合解答 7

原题：设 。

（I）证明方程 在 内有唯一实根 ； （II）求。

函数 在 上严格递增，且在两端异号，所以根存在且唯一。根满足，因此 ，故 。取对数：，题中幂指数 ，原式化为 。于是

答案：

1000 强化篇第 2 章 7

原题：设数列 满足

（1）证明 存在并求其值； （2）计算。

令 ，则 在 上严格递减。由递推式，得到 。故 ；令 ，有 ，所以 。

先用拉格朗日中值定理控制阶数。由，存在 ，使

因此 。再展开：

除以 ，利用 ，得到

对话补充：

原题：设方程在 内的实根为 ，其中 。求

• A.
• B.
• C.
• D.

解析

对每个 ，函数 在 严格递增，且值域为 ，故正根存在且唯一。由定义式，所以 。进一步，，从而，因此

即

选 B。这里先由方程获得 与 ，无需显式求根。

易错点

• 隐式根序列先证明根确实唯一，再谈极限。
• 对 ，取对数经常比直接展开稳。
• 若 ，常用 。
• 形如 的题，先证明 。

链接

• 第一部分题库：极限、连续与数列
• 中间变量极限定理：严格单调与反函数边界
• 极限里的局部主项与代入边界