考研笔记

振荡级数、交错级数与 Dirichlet—Abel

🏠 第16章概念导航 · 无穷级数题库

方法模板

  • 交错级数：验证正项部分单调趋零。
  • 条件收敛：本身收敛，同时绝对值级数发散。
  • Dirichlet： 有界，，则 收敛。
  • Abel： 收敛， 单调有界，则 收敛。
  • 对数中含交错小量时，若一阶项已经抵消或条件收敛，继续检查二阶非交错项。

必考

880 第8章基础选择 7

原题

设 为常数，级数

（ ）。

A. 绝对收敛　B. 条件收敛　C. 发散　D. 敛散性与 有关

解析

有理化得

又 ，故绝对值级数与收敛的 型级数比较。选 。

880 第8章基础解答 2-I

原题

已知 收敛，判别 的敛散性。

解析

令 。级数收敛推出 有界，设 ，则，故 绝对收敛。

880 第8章基础解答 2-IV

原题

判别的敛散性。

解析

，故原级数由 Leibniz 判别收敛。又，绝对值级数发散。因此原级数 条件收敛。

880 第8章综合选择 1

原题

设 为常数，级数

（ ）。

A. 条件收敛　B. 绝对收敛　C. 发散　D. 敛散性与 有关

解析

单调趋零，故第一列交错收敛；其绝对值与 等价而发散。第二列由 绝对收敛。因此总级数条件收敛，选 。

880 第8章综合选择 2

原题

正项数列 满足 ，则（ ）。

A. 绝对收敛　B. 条件收敛　C. 发散　D. 敛散性不确定

解析

令 ，则通项为 。部分和直接消项：，因为 。而绝对值通项与 等价，绝对值级数发散。选 。

巧思

本题不需要证明 单调。把相邻两项先写成 ，交错号会使中间项完全抵消。

880 第8章综合解答 3

原题

（I）设 ，证明，（II）判别是绝对收敛还是条件收敛。

解析

（I）令 ，设， 且，故 。

（II）令 。由（I），，且 ，故原级数交错收敛。又，绝对值级数发散。因此原级数条件收敛。

1000 基础篇第16章 3

原题

设 ，级数（ ）。

A. 发散　B. 条件收敛　C. 绝对收敛　D. 敛散性与 有关

解析

正项部分最终单调趋零，故交错收敛；绝对值级数与调和级数同敛散，故条件收敛。选 。

1000 基础篇第16章 5

原题

设 ，，则 （ ）。

A. 绝对收敛　B. 条件收敛　C. 发散　D. 敛散性与 有关

解析

由 Lagrange 中值定理，存在 使，故 ，且最终单调趋零。原级数条件收敛，选 。

1000 强化篇第16章 6

原题

若条件收敛，求 的范围。

A.

B.

C.

D.

解析

交错收敛要求 ；绝对值级数发散要求 。故

选 。

拓展

880 第8章基础解答 2-II

原题

判别 的敛散性。

解析

单调趋零，故交错收敛；又 最终成立，绝对值级数发散。故条件收敛。

880 第8章基础解答 2-III

原题

判别的敛散性。

解析

最终正且单调增加，倒数单调趋零，故交错收敛。又，绝对值级数发散，故条件收敛。

补充题

对数交错小量的二阶主项

原题

判别的敛散性。

解析

展开得

第一列交错收敛，余项绝对收敛， 发散到 ，故原级数发散到 。

边界说明

一阶等价只保留了条件收敛项，无法决定总级数。展开必须继续到第一个不依靠振荡抵消的主项。

相关概念

反向链接