交错级数、Dirichlet—Abel 与条件收敛

收敛层级

收 敛

绝对值级数发散而原级数收敛时，称为条件收敛。令

则、。条件收敛等价于

同时两列部分和之差趋于有限值。例题：正负项拆分与部分和之比。

若，从某项起单调不增且，则收敛，并且余项满足，条件收敛还要补查发散。参数题先求的主阶，再分别列出“交错收敛”和“绝对收敛”的范围。例题：根式差交错级数的参数范围。

若部分和有界，且单调趋于，则收敛。

核心来自 Abel 变换：

时，只要，其部分和有界。例题：三角振荡项与绝对收敛。

若收敛，且单调有界，则收敛。常用情形为；拆成后，常数部分由处理，趋零部分用 Dirichlet 判别。

含交错小量的对数级数需要展开到首个不依靠振荡抵消的项。例如

一阶项交错收敛，二阶项形成负调和级数，整体发散。例题：交错对数的二阶非振荡项。