任意项级数、条件收敛与正负项拆分

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正负项分解

令

则，且

因此：

绝对收敛，当且仅当都收敛；
条件收敛时，，两部分的差保持有限。

必考

880 第8章综合选择 4

原题

设

考察四个级数：

下列结论正确的是（）。

A. 若 (I) 收敛，则 (III)、(IV) 都收敛

B. 若 (II) 收敛，则 (I)、(III)、(IV) 都收敛

C. 若 (III)、(IV) 都发散，则 (I)、(II) 都发散

D. 四者的收敛性无确定关系

解析

由

可知，若收敛，则两个非负子级数都收敛，进而收敛。选。

A 被条件收敛级数否定；C 中 (I) 仍可能条件收敛。

1000 强化篇第16章 4

原题

设条件收敛，，则（）。

A. 当时，发散

B. 当时，发散

C. 当发散时，

D. 当发散时，

解析

在收敛而不绝对收敛，因此幂级数的收敛半径恰为。当时，整列幂级数绝对收敛，其奇项、偶项子级数也绝对收敛。

故奇项子级数发散只能发生在，选。

端点必须分别判断，A、B、D 都把端点方向写错。

1000 强化篇第16章 5

原题

设为任意项级数，记

当条件收敛时，判断：

① 与均收敛；

② 发散；

③ 。

正确结论的个数为（）。

A. 0　B. 1　C. 2　D. 3

解析

这里，。条件收敛给出

而收敛。故 ① 错；又，② 对。最后，所以 ③ 对。共两个正确结论，选。

补充题

条件收敛交错级数的权重破坏

原题

已知，且条件收敛。判断的敛散性。

解析

条件收敛推出

同时收敛。于是

发散到。

深层结论

条件收敛依赖正负项的无限抵消。改变一侧权重会破坏两部分的平衡；这也是 Riemann 重排定理能够改变条件收敛级数和的原因。

考研笔记