考研笔记

数项级数概念、必要条件与反例

🏠 第16章概念导航 · 无穷级数题库

判断框架

  1. 级数研究部分和；通项趋于零只给出必要条件。
  2. 有限个收敛级数可线性组合；抽取子级数、改变符号、逐项相乘都需要另查条件。
  3. 命题判断优先检查正项性、绝对收敛和有界性。
  4. 否定命题优先试 、、稀疏项和成对构造。

必考

880 第8章基础选择 2

原题

下列结论中正确的是（ ）。

A. 若 收敛，则 与 都收敛

B. 若 和 都收敛，则 收敛

C. 若 收敛且 ，则 收敛

D. 若 且 发散，则

解析

由及比较判别法，B 正确。

A 取 ；C 缺少 ；D 取 （）。故选 。

880 第8章基础选择 3

原题

下列结论中正确的是（ ）。

A. 若 与 都收敛，则 必收敛

B. 若 与 都发散，则 必发散

C. 若 收敛、 发散，则 必发散

D. 若 收敛，且 收敛，则 收敛

解析

收敛推出 有界：。于是，故选 。其余选项的反例可固定为：

  • A：，两个原级数都收敛，而 发散；
  • B：，两个原级数都发散，而 收敛；
  • C：， 收敛、 发散，而乘积级数仍收敛。

880 第8章基础选择 4

原题

设 收敛，则下列级数中收敛的是（ ）。

A.

B.

C.

D.

解析

移去有限项不改变收敛性，故 收敛，从而收敛，选 。

A 取 ；D 对同一反例成为同号发散级数。C 取 ，则 收敛，而

发散。

1000 基础篇第16章 4

原题

以下结论正确的是（ ）。

A. 若 收敛，则 收敛

B. 若 发散，则 发散

C. 若 收敛，则 收敛

D. 若 发散，则 发散

解析

收敛时，最终有 ，故 ，从而 绝对收敛。A 正确。

其余命题的标准反例依次为

故选 。

边界说明

偶次幂给出非负项，可以直接比较；奇次幂可能依靠符号抵消收敛。

1000 基础篇第16章 6

原题

设 收敛，则下列级数中收敛的是（ ）。

A.

B.

C.

D.

解析

前提的部分和为 ，故 有有限极限。于是有有限极限，选 。其余三项均无法仅由 收敛推出。

1000 强化篇第16章 2

原题

若 发散，则（ ）。

A. 收敛且 收敛

B. 发散且 收敛

C. 收敛或 发散

D. 发散或 发散

解析

令 。若 都收敛，则 有界，且，与前提矛盾。因此两者至少有一个发散，选 。

1000 强化篇第16章 3

原题

数列 满足，则“ 收敛”是“ 收敛”的（ ）。

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件

解析

若 收敛，令尾和 ，则 且，故 单调递减且有下界，因而收敛；再由 得 收敛。

反向不成立：取 即可。因此 收敛是 收敛的必要非充分条件，选 。

拓展

880 第8章基础选择 1

原题

设 与 均发散，则（ ）。

A. 必发散

B. 必发散

C. 必发散

D. 必发散

解析

若 C 中级数收敛，则 都收敛，进而 都收敛，与前提矛盾。故选 。

880 第8章基础选择 6

原题

下列结论中正确的是（ ）。

A. 若正项级数 收敛，则

B. 若 收敛，则 必条件收敛

C. 若正项交错级数 条件收敛，则 发散

D. 若 收敛，则 必收敛

解析

条件收敛的定义正是原级数收敛而绝对值级数发散，故 C 正确。

A 取 ；B 缺少绝对收敛保证；D 取 。选 。

880 第8章综合选择 6

原题

设数列 满足 ，则（ ）。

A. 收敛时， 收敛

B. 收敛时， 收敛

C. 发散时， 发散

D. 发散时， 发散

解析

推出 有界。若 ，则，故选 。

补充题

平方可和与乘积绝对收敛

原题

设 收敛，证明 绝对收敛。

解析

由 Cauchy—Schwarz 不等式，

等价的逐项估计为 。

结构

这是 的直接应用：两个平方可和数列逐项相乘后绝对可和。本题的第二个数列为 。

相关概念

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