函数展开、换中心与系数渐近

🏠 第16章概念导航 · 无穷级数题库

方法入口

1. 先作恒等变形，使函数落回几何、对数、指数、三角母式。
2. 反三角函数或根式函数难以直接展开时，先求导，展开导函数后逐项积分。
3. 在 展开时令 ；已知和函数时，先认出和函数再换中心。
4. 有理函数先作部分分式。系数渐近由距离展开中心最近的奇点控制； 阶极点通常产生 级系数。

必考

880 第8章基础填空 4

原题

设

则 ______。

解析

由

相加后 为奇数的项消失， 的系数为 ；减去 消去 项。因此

880 第8章基础解答 6-II

原题

将展开为 的幂级数，并确定收敛域。

解析

因式分解后套对数母式：

公共开区间为 。在 两个对数级数均收敛，在 时 对应调和级数并发散，故收敛域为

880 第8章基础解答 6-III

原题

将展开为 的幂级数，并确定收敛域。

解析：先求导再积分

又 ，逐项积分得

端点处绝对值通项为 ，故收敛域为 。

880 第8章基础解答 6-IV

原题

将展开为 的幂级数，并确定收敛域。

解析

求导后发生抵消：，由 ，逐项积分得

两个端点均绝对收敛，收敛域为 。

1000 基础篇第16章 16

原题

设

求，

解析：部分分式求精确系数

令 。先分解，再展开为

故

深层结论：最近奇点控制系数

展开中心为 。二阶极点 距中心为 ，产生 级系数；简单极点 距中心为 ，只产生 修正。需要精确极限时仍以部分分式展开最稳妥。

1000 强化篇第16章 8

原题

已知

求 。

解析

在 内，

因此

且对 ，

拓展

880 第8章基础填空 3

原题

将展开为 的幂级数。

解析在任意有界区间一致收敛，故可逐项积分：

880 第8章基础解答 7

原题

将展开为 的幂级数。

解析

令 ，由得

880 第8章基础解答 8

原题

将在 处展开为幂级数。

解析

令 ，则

故

880 第8章综合解答 9

原题

将 在 处展开为幂级数，并求 。

解析

令 ：

因此对 ，

直接写泰勒级数，还要证明余项趋于零

求出 只确定了泰勒级数的系数；要断言它的和等于 ，还须验证 。本题 ，拉格朗日余项为

对每个固定的 ，令 ，则

右端相邻项比值趋于 （ 时余项直接为 ）。上面的间接法直接利用已知成立的 展开式，已保证等式成立，无需另证余项；若只求高阶导数，则可直接用莱布尼茨公式。

880 第8章综合解答 10

原题

将在 处展开为幂级数，并求 。

解析

令 ，则

故 ，且 。

展开为幂级数，不只是算系数

若直接用泰勒公式展开，须在所讨论的范围内证明 ，才能写成函数与无穷级数相等。本题套用已知的几何级数展开式，在 内已保证等式成立，无需另证余项。

880 第8章综合解答 11

原题

将 展开为 的幂级数，并求，

解析

合并同次幂：

令 ，得到

商式求导后的幂级数

来源

• 880 第8章综合解答 12
• 1000 强化篇第16章 23

原题

两种题干分别将函数写成

要求展开为 的幂级数，并求，由商法则，，两题完全等价。

解法一：直接展开分子

分子中常数项和一次项均消失，故，

解法二：先展开再求导，逐项求导得

原商式在 处按可去间断连续补值 ，与幂级数常数项一致。

数项级数

另由 ，

1000 强化篇第16章 28

原题

将 展开成 的幂级数，求收敛域，并求的和函数。

解析

令 ，则

由几何级数连续使用 ，

旧题并入：先变形，再套母式

三个常用展开入口

原题

1. 设

判断 时 与 的无穷小关系。

2. 展开 。

3. 展开 。

解析

第一题只取最低阶主项：

故 。

第二题先用 ：

第三题令 ，则 且 ，所以

线性分式进入反正切的通式

若，则在分母有定义处

线性分式求导产生的 会与 中的同一因子消去。所得分母若能化成简单二次式，先求导再积分通常最短。

先认和函数，再更换展开中心

原题

将

的和函数展开成 的幂级数。

解析

原和函数为 。令 ，用和角公式后展开：

两列均在 上收敛。

模板总结

• 复合函数先找恒等分解，避免对复杂内层作多重卷积。
• 容易展开时，用 。
• 换中心题先令 ；已知和函数时先回到函数本身。
• 有理函数的系数极限先作部分分式，再由最近奇点判断主阶。

相关概念

• 幂级数母式库与求和工具
• 幂级数半径、端点与变换