多元隐函数与方程组求导

单个隐函数

设 ，。若，则在该点附近可将方程局部写成 ，并且

上式中 都在 上取值。题目只问某点导数时，先用原方程确定该点的 值，再代入公式。

代表题：隐函数定理中的非零偏导条件。

二阶偏导

从恒等式

继续求导。例如

若考察点是 的驻点，则 ，公式立即简化为

代表题：隐函数驻点的二阶偏导短算。

隐函数组

设

要局部确定 ，需核验

对 求导时，把 当作未知数：

对 求导时同理。求某个导数组合时，可以先对两个方程做线性组合，减少解方程组的计算。

代表题：两个隐函数联立求导、方程组确定函数后求导。

边界核验

• 分母 在目标点必须非零。
• 方程组的 Jacobian 必须对“被确定变量”求。
• 隐函数极值题先证明局部可解，再用驻点和 Hessian 判别。
• 连续求二阶导数需要相应的二阶光滑性。

题型训练

• 隐函数、方程组与高阶导数
• 隐函数中的 Euler 算子
• 🏠 第13章：多元函数微分学总览