考研笔记

齐次函数、欧拉算子与方向算子

缩放算子

定义，若 ，则，比例变量 是零次齐次量，会被 消去。二阶组合满足

对应题目：比例变量的二阶组合、齐次函数反求一元函数。

其他方向算子

目标出现 时，定义，，所以它描述保持乘积 不变的方向。隐函数同样可以整体作用算子，见复合函数与隐函数的同一做法。

题目

880 第5章 基础填空 11【必考】

原题

设， 有二阶连续偏导数， 有二阶连续导数，求 。

解析

令

二阶链式法则中， 的系数为

其余各项整理得

的各偏导在 处取值， 在 处取值。

880 第5章 综合解答 1【必考·代表题】

原题

设 有一阶连续导数，证明：的充分必要条件是，

解析

必要性：若 ，直接求导得

所以 。

充分性：在 的连通区域内作换元

则，故 与 无关，存在一元函数 使 ，即

880 第5章 综合解答 2【必考】

原题

设 由确定，其中 可微，求，

解析

令

对作用 ：前两项恰好相消，故

对隐式方程整体作用 ：，隐函数条件排除 ，因此

1000 基础篇第13章 2【必考】

原题

设 可导，，求，

解析

两项中的 相消：

1000 基础篇第13章 3【必考】

原题

设 可导，，求，

解析

令 ，则

因此

比例变量的二阶欧拉组合【必考·代表题】

来源

  • 1000 基础篇第13章 13
  • 旧题页“欧拉算子秒算比例变量二阶组合”

原题

设 有二阶连续偏导数，，求，

解析

令 。比例变量在同比缩放下不变，所以， 是二次齐次函数，故，由二阶欧拉恒等式，

齐次函数反求一元函数【必考·代表题】

来源

  • 1000 基础篇第13章 14
  • 旧题页“齐次函数与欧拉算子：求函数、面积和旋转体体积”

原题

设，且，求：

  1. ；
  2. 与 轴所围图形的面积，以及该图形绕 轴旋转一周所得体积。

解析

是二次齐次函数，故 。于是，令 ，得

在 上 ，面积为

旋转体体积为

隐函数中的欧拉算子【必考·代表题】

来源

  • 1000 基础篇第13章 17
  • 旧题页“隐函数中的欧拉算子：直接求缩放方向导数”

原题

设 由确定，求 。

解析

令 ，，并设

有

对 作用 ：，利用，解得

复合函数与隐函数的同一方向算子【必考·代表题】

来源

  • 1000 强化篇第13章 16、17
  • 旧题页“算子降维：复合函数与隐函数都先看不变量”

第 16 题

原题

设 均可微，，求 。

解析

令 。有

所以

第 17 题

原题

设 有一阶连续偏导数， 由确定，且题中相关分母非零，求 。

解析

仍令 ，并设 。对

有

对隐式方程作用 ：，分母条件排除第二个因子为零，故

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