考研笔记

方向导数与梯度：考试模板

它解决什么问题

一元函数在一点只有两个方向：向左、向右。多元函数在一点有无穷多个方向，所以“函数在这一点怎么变”不能只看 ，而要问：

沿某个方向走，函数值瞬时变化多快？

方向导数回答“沿指定方向变化多快”，梯度回答“所有方向中哪个最快、最大变化率是多少”。

flowchart LR
  A["偏导数 f_x, f_y, f_z"] --> B["梯度 ∇f"]
  B --> C["点乘单位方向 e"]
  C --> D["方向导数 D_e f"]
  B --> E["最快增长方向"]
  B --> F["等值线/等值面的法向量"]

核心公式

二元函数 的梯度为，三元函数 的梯度为，设方向为单位向量 ，方向导数定义为

若 在 可微，则

这是考试中最常用的公式。

第一个关键：方向必须单位化

如果题目给的是普通方向向量 ，不能直接点乘，要先变成单位向量：，所以实际计算模板是

这里的 常常只是口头写法，本质上仍然是沿 所指方向的单位方向导数。

偏导数可以看成特殊方向导数：

三元函数类似：

第二个关键：最大、最小、为零

因为

其中 是 与 的夹角，所以：

最大方向导数

最大方向是 的方向。

最小方向导数

最小方向是 的方向。

等价于 ，也就是沿等值线或等值面方向走，函数值一阶近似不变。

如果 且 在 可微，那么所有单位方向上的方向导数都为 ，此时没有唯一的最快方向。

第三个关键：梯度垂直等值线和等值面

对二元函数的等值线，若 处 ，则 是等值线在 处的法向量。切线方向 满足，对三元函数的等值面，若 处 ，则 是等值面在 处的法向量。

这句话会直接连到空间解析几何：

隐式曲面的法向量就是

做题模板

1. 求指定方向的方向导数

  1. 算 。
  2. 把给定方向 单位化为 。
  3. 点乘：。

2. 求最大变化率和方向

  1. 算 。
  2. 最大变化率是 。
  3. 最大方向是 ；若要单位向量，写成 。

3. 求方向导数等于某个值的方向

设单位方向为 ，列，先看是否有解：必须满足，若 ，方向唯一，分别是梯度或负梯度方向；若 ，一般有多个方向。

4. 沿参数曲线的变化率

若点沿曲线 运动，复合函数为 ，则

注意它不一定是方向导数，因为 不一定是单位向量。若题目问“沿曲线单位长度的变化率”，要除以速度：

小例子

设，求在 处沿方向 的方向导数。

先算梯度：

方向向量先单位化：

因此

最大方向导数为

最大方向为 的方向。

常见误用

  • 忘记把方向向量单位化，直接用 。
  • 把方向导数当成向量；方向导数是一个数，梯度才是向量。
  • 只知道 ，不知道它们组合起来就是梯度。
  • 看到“最大变化率”还去设方向硬算，其实直接取 。
  • 看到“等值线方向”还沿着梯度走；梯度是等值线或等值面的法向量。
  • 只知道所有方向导数存在，就默认可微。这个推不出来；公式 需要可微作为支撑。

与旧知识的连接

方向导数和全微分是同一件事的不同说法。二元函数可微时，，若沿单位方向 走，即 ，则

方向导数可以看成全微分沿某个单位方向的投影。

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