考研笔记

方向导数、梯度与切平面几何

统一结构

可微函数沿单位向量 的方向导数为，最大方向导数为 ，对应单位方向为，曲面 在正则点的法向量是 ；两曲面交线的切向量可取，对应题目：两曲面交线、平行切平面反求切点。

题目

880 第5章 基础选择 9【必考】

原题

设曲面 由确定， 有连续偏导数， 均非零，则 上任一点的切平面都平行于直线（ ）。

  • (A)
  • (B)
  • (C)
  • (D)

解析

沿方向 移动时，

因此 的两个自变量都不变， 是曲面的切向量。对应直线为，选 。

880 第5章 基础填空 12【拓展】

原题

曲面在点 处的切平面方程与法线方程分别为多少？

解析

写成，法向量为，故切平面为

法线为

880 第5章 基础填空 13【必考·代表题】

原题

曲线

在点 处的切线方程与法平面方程分别为多少？

解析

两曲面的法向量为

交线切向量可取

因此切线为

法平面的法向量就是切向量，故

880 第5章 基础填空 15【必考】

原题

设 有连续偏导数，在 处

求 在该点增加最快的方向。

解析

梯度为 ，故最快增长的单位方向为

880 第5章 基础填空 16【拓展】

原题

函数在 处的梯度为多少？

解析，代入 得

880 第5章 综合填空 4【拓展·代表题】

原题

曲面的切平面平行于平面 ，求该切平面方程。

解析

曲面法向量为 。平行条件要求，所以

代入曲面得，故 ，切点为 与 。两切平面为

880 第5章 综合填空 5【必考】

原题

设可微函数满足， 是曲面 上一点，且 ，求曲面在 处的切平面。

解析

由二次齐次函数的欧拉公式，，在 处，故 。图形曲面的法向量可取 ，所以切平面为

880 第5章 综合填空 6【必考】

原题

设，求 在点 处沿曲面 的外法线方向的方向导数。

解析，圆柱面的外法线单位向量为，因此

880 第5章 综合解答 18【必考】

原题

设，求 在点 处沿方向的方向导数，并讨论在哪些点该方向导数等于梯度的模。

解析

设 ，方向单位向量为，所以

由 Cauchy 不等式， 当且仅当 与 同向，即

因此所有非零坐标对应的 必须相等。具体地：

  • 三条坐标轴上的非原点都满足；
  • 两个坐标非零时，对应的两个半轴参数必须相等；
  • 三个坐标都非零时，必须有 。

原点处给定方向为零向量，方向导数不按该方向定义。

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