考研笔记

空间解析几何：切平面、法线、切线与法平面

一句话总框架

在多元微分的几何应用里，先不要背一堆方程。核心判断只有两个：

曲面：先找法向量空间曲线：先找切向量

曲面的法向量决定切平面和法线；曲线的切向量决定切线和法平面。

flowchart TD
  A["题目给了什么对象？"] --> B["曲面"]
  A --> C["空间曲线"]
  B --> D["找法向量 n"]
  D --> E["切平面：n · (r-r0)=0"]
  D --> F["法线：r=r0+tn"]
  C --> G["找切向量 v"]
  G --> H["切线：r=r0+tv"]
  G --> I["法平面：v · (r-r0)=0"]

先背两个基础方程

设点为 。

若平面过 ，法向量为 ，则平面方程为

若直线过 ，方向向量为 ，则直线参数式为

若 都不为 ，也可以写对称式：

若某个分量为 ，参数式最安全；对称式里对应变量应固定，不要硬把 放到分母里。

曲面：切平面与法线

1. 隐式曲面

设曲面经过 ，且

曲面在 处的法向量就是

切平面：

法线：

2. 显式曲面

在点处，可令 ，于是法向量可取

也可以整体乘以 ，取 ，答案等价。

切平面：

这就是二元函数的线性化公式。

法线：

若采用 作方向向量，参数式整体变号即可，表示同一条法线。

3. 参数曲面

设

参数曲面有两个切向量：

若，则法向量可取

切平面：

法线：

空间曲线：切线与法平面

1. 参数曲线

设

若 ，曲线的切向量为

切线：

法平面垂直于切线，所以法平面的法向量就是曲线的切向量：

这里最容易混：

曲线的切向量法平面的法向量。

2. 曲线写成

把 当参数：，在 处，切向量为

切线：

法平面：

3. 两曲面交线

若空间曲线由

确定，交线上一点为 。

曲线同时位于两个曲面上，所以它的切向量同时垂直于 和 。因此切向量可取

前提是，切线：

法平面：

记忆链：

交线两个曲面法向量叉乘交线切向量

平面曲线：切线与法线

二维平面曲线也常和这部分混在一起考。

若平面曲线为，在点 处，若 ，则 是曲线的法向量。

切线：

法线：

若曲线为 ，则切线为

当 时，法线可写成

遇到 或切线竖直时，最好回到向量式，不要硬套斜率。

还有哪些常考问法

1. 曲面的切线

曲面在一点有无数条切线，因为切平面内经过该点的很多直线都可能是曲面上某条曲线的切线。所以如果题目只说“求曲面的切线”，通常信息不足；必须指定曲面上的某条曲线，或者指定切方向。

2. 空间曲线的法线

空间曲线的切线是唯一的，但垂直于切线的方向有无数个，所以基础多元微积分中通常求的是唯一的法平面。若要唯一的主法线，需要进一步引入曲率和 Frenet 标架，一般不是考研数学这部分的重点。

3. 夹角问题

两个曲面的夹角，通常转化为两个法向量的夹角：

两条空间曲线的夹角，通常转化为两个切向量的夹角：

曲线与曲面的夹角，先看曲线切向量 与曲面法向量 。如果 是曲线与曲面的夹角，则

因为曲线与曲面的夹角是曲线和切平面的夹角，不是曲线和法线的夹角。

4. 平行与垂直

两曲面切平面平行，等价于对应法向量平行。

两曲面切平面垂直，等价于对应法向量垂直。

曲线切线与曲面切平面平行，等价于曲线切向量 与曲面法向量 垂直，即，曲线切线垂直于曲面切平面，等价于曲线切向量 与曲面法向量 平行。

5. 正则条件

套公式之前要看核心向量是否非零：

  • 隐式曲面：。
  • 参数曲面：。
  • 参数曲线：。
  • 两曲面交线：。

如果核心向量为零，可能是奇异点，不能直接套切平面、切线公式。

统一例子

球面在点 处，令，则，所以切平面为，即

法线为

再考虑球面与平面的交线。两个曲面的法向量分别为

交线的切向量为

所以交线在 处的切线为

法平面为，即

考场最后只背两句话

曲面先找法向量：切平面点乘为零，法线沿法向量走。 曲线先找切向量：切线沿切向量走，法平面点乘为零。

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