考研笔记

二元函数极值判别：看 Hessian 判别式

这一页在记什么

二元函数在驻点附近是否取极值，本质上看的是二阶近似到底像“碗”“倒扣碗”，还是“马鞍面”。

前提：先是驻点

只有在

的前提下，二阶判别法才有意义。

Hessian 矩阵和二阶 Taylor 展开

一般地，在 附近有二阶近似：

一阶线性项：切平面二阶二次项：二次型

其中 Hessian 矩阵为

二阶项可以写成矩阵形式：

在驻点处，一阶线性项消失，所以局部极值的类型由 Hessian 二次型决定。

设

则驻点附近有近似

真正要判断的是这个二次型

判别式

定义，判别规则是：

1.

则 恒正，故 是极小值点。

2.

则 恒负，故 是极大值点。

3.

可正可负，说明不同方向上分别上升和下降，因此该点为马鞍点，不取得极值。

4.

二阶项退化，二阶判别法失效，必须继续看更高阶项或换别的方法。

为什么 是关键

把 配方：

这时就能直接看出：

  • 若 ，两项同号， 总同号；
  • 若 ，两项异号， 会变号。

所以 决定的，本质上是“二阶近似是否在所有方向上同号”。

从线性代数看， 是 Hessian 矩阵的行列式。由于 Hessian 是实对称矩阵，它可以正交对角化，两个特征值记为 ，则，因此：

  • ：两个特征值同号，Hessian 可能正定，也可能负定；
  • ：两个特征值异号，Hessian 不定，对应马鞍点；
  • ：至少有一个零特征方向，二阶判别退化。

为什么 后还要看

单看 只能排除马鞍点，不能区分正定和负定。二维 Hessian 的顺序主子式是，由 Sylvester 判别法：

  • ：Hessian 正定，对应极小值。
  • ：Hessian 负定，对应极大值。
  • ：Hessian 不定，对应马鞍点。

所以二元极值判别里的“先看 ，再看 ”，本质上就是二维实对称矩阵的正定、负定判别。

与二阶算子判别式的关系

同一个二次型也会出现在二阶微分算子里：，它对应的符号二次型是

极值判别看的是矩阵行列式 ，而方向算子因式分解常看，两者来自同一个二次型，只是问题不同：极值问题关心二次型是否沿所有方向同号；二阶算子问题关心它能否分解出实方向。

几何直觉

  • ：像碗底，四周都往上，是极小值；
  • ：像倒扣碗顶，四周都往下，是极大值；
  • ：像马鞍，有方向上升也有方向下降；
  • ：二阶形状不够明确，不能只靠 Hessian 下结论。

做题清单

  1. 先确认是不是驻点。
  2. 再算 。
  3. 先看 的符号。
  4. 若 ，再用 的符号分极大或极小。
  5. 若 ，立刻停下，换方法。

一句最该记住的话

二元函数的二阶判别归结为：驻点附近的二次型是否沿所有方向同号。

链接

反向链接