二阶常系数算子的特征方程

它解决什么问题

遇到这类二阶常系数偏导组合时，直接展开链式法则会很机械。特征方程的作用是：先找出合适的线性变量 ，让纯二阶项消失，只剩混合偏导。

一句话：

核心结论

若原方程写成，试取一个线性变量，则 项的系数为，因此特征方程为

若有两个不同实根 ，通常取

原方程就会化成一个非零常数倍的 。

记号警惕

有些教材把原式写成，这时特征方程要相应写成

所以不要只背字母，要先看原题中 前面的实际系数。

为什么这样来

设 ，若只看一个变量 对纯二阶项的贡献，则，在二阶链式法则中：

所以 中 的系数就是，让它等于 ，就是让这个特征变量对应的纯二阶项消失。

做题流程

1. 读出 中的 。
2. 写特征方程 。
3. 两个根给出两个变量 。
4. 若题目已经给出其中一个变量，就把它和某个根对上，另一个变量用另一个根。
5. 最后检查两个新变量不能重合，即 Jacobian 不能为 。

和因式分解的关系

特征方程和算子因式分解是同一件事的两种语言。

比如

对应的特征方程是，两根为，所以特征变量就是，能一眼因式分解时，用因式分解最快；不好拆时，特征方程更稳。

常见误用

• 把 错看成 。
• 求出两个根后，没有检查新变量是否独立。
• 题目要化成 ，却只让一个纯二阶项消失，漏掉另一个纯二阶项。
• 忘记非零常数倍不影响方程，例如 等价于 。

链接

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