考研笔记

偏微分方程、坐标换元与最大值原理

常系数二阶算子

对线性换元

可以把

直接代入常系数算子。特征变量由对应的方程给出。换元后还要检查 Jacobian 非零。对应题目：两特征变量、三种换元解法。

一阶项与边界条件

指数替换 会把分别平移为 ，见指数替换消一阶项。

边界条件 只约束直线 上的函数，不能推广为全平面恒等式，见算子换元与两条边界。

最大值原理

边界给符号、内部给微分方程时，假设内部出现反号值。连续函数在闭区域取得反号极值，再把极值点的一阶或二阶导数符号代回方程制造矛盾。对应题目：一阶方程、二阶方程。

题目

880 第5章 基础解答 8【必考】

原题

设 有二阶连续偏导数，利用

将化为 ，求 。

解析

试特征变量 ，特征方程为，两根为

所以

两根不同，Jacobian ，换元有效； 的次序可以互换。

880 第5章 基础解答 9【必考】

原题

设 有二阶连续导数，且满足，求 。

解析

令 。有

因此一阶链式项相消：

原方程化为 ，故

880 第5章 综合解答 14【必考·代表题】

原题

设可微函数 满足

若 ，求：

  1. ；
  2. 的极值。

解析

令

则 ，所以，积分得，由 得 ，故

第一问可直接用方程：

驻点为 。原点是鞍点； 是局部极小值点，极小值为

880 第5章 综合解答 17【必考】

原题

设， 有二阶连续偏导数并满足，作变换

  1. 求 。
  2. 若

求 。

解析

因为，原方程化为 。又，所以

对 积分两次：

由两条边界条件

因此，最后

即

指数替换消去一阶偏导【必考·代表题】

来源

  • 1000 基础篇第13章 15
  • 旧题页“指数替换消去一阶偏导项”

原题

已知，求 ，使 后所得方程不含 。

解析

将原算子中的 分别替换为 ：， 的系数分别为

令其为零，得

此时常数项也为零，方程化为

1000 基础篇第13章 16【必考】

原题

设 有二阶连续偏导数，作变换

将化为以 为自变量的方程。

解析

有

所以，原方程为 ，故化为

一阶方程的内部极值反证【必考·代表题】

来源

  • 1000 基础篇第13章 18
  • 旧题页“边界为零的一阶偏微分方程：内部极值反证”

原题

设 在有界闭区域 上连续，在内部有一阶偏导数，边界上 ，且，判断下列结论。

  • (A) 在内部有正的最大值
  • (B) 在内部有负的最小值
  • (C) 只在边界上取到最大值
  • (D) 在边界上可以取到最小值

解析

若内部存在正值，则正最大值在内部取得，该点 ，方程给出 ，矛盾。若内部存在负值，同理在负最小值点得到矛盾。

所以，最大值、最小值均为零，边界上可以取到最小值。选 。

1000 基础篇第13章 19【必考】

原题

设 在有界闭区域 上有二阶连续偏导数，且

则（ ）。

  • (A) 最大值点、最小值点都在内部
  • (B) 最大值点、最小值点都在边界
  • (C) 最小值点在内部，最大值点在边界
  • (D) 最大值点在内部，最小值点在边界

解析

若内部存在极值点，Hessian 必须半正定或半负定。又，两条对角线只能同时为零。此时 Hessian 行列式为，与极值点的半定性矛盾。因此内部没有最大值点或最小值点。闭区域上连续函数的最值均存在，只能在边界取得。选 。

1000 强化篇第13章 6【必考】

原题

已知 在 内有二阶连续导数，且满足，求 。

解析

令 。直接计算得

故，积分两次：

二阶方程的边界符号【必考·代表题】

来源

  • 1000 强化篇第13章 38
  • 旧题页“二阶偏微分方程的边界符号：初等最大值原理”

原题

设 在上连续，在内部有二阶连续偏导数，且，边界上 。证明整个 上 。

解析

反设内部有点使 。由于 为有界闭区域， 在 上取得负的最小值；边界非负，所以该最小值点位于内部。

在内部极小值点，

因此，而右端 ，矛盾。故

于

1000 强化篇第13章 39【必考·代表题】

原题

已知可微函数 满足

记

  1. 求 。
  2. 求 在闭圆盘 上的最大值与最小值。

解析

由链式法则，

对 积分：，，故 。由 ，即 ，得到

在圆盘内部，驻点为 ，函数值为 。边界上 ，

因此

，在处取得 ，在处取得

算子换元与边界条件【必考·代表题】

来源

  • 1000 强化篇第13章 40
  • 旧题页“二阶算子换元：不能约算子，边界条件只约束一条线”

原题

设 有二阶连续偏导数，，且

  1. 证明 。
  2. 求 。

解析

有

原算子分解为

又

故原方程化为，即

这里仅约去普通数字 。微分算子有非零核，不能从约去 。

令 ，则 ，所以，由 得 ，从而，边界条件只作用在 上，给出

解得 。因此

二阶算子因式分解与变量代换【旧题迁移】

原题

设 有二阶连续偏导数，用变换

把化为 ，求 。

解析一：特征方程

特征方程为，两根为 。题面已给出 ，另一个变量应为 ，故

解析二：算子因式分解

由

可得

令纯 项消失得 。

常规核验

完整展开后

给出 或 ； 时 ，Jacobian 为零，换元无效。因此仍取 。

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