多元 PDE 坐标变换与最大值原理

线性换元与算子变换

设

则

对常系数线性算子，可直接将这两个式子代入并展开。换元有效还需要，对，特征变量由

给出。两根不同时，可选两个特征变量将算子化为混合偏导的常数倍。

令，则共轭恒等式为

因此对原算子中的做平移，通过选择消去一阶项。常数项应在一阶项消去后再核对一次。

换元后的条件只在直线上成立。对该恒等式求导数可以获得同一边界上的导数信息，不能将它推广到整个平面。

求解顺序：

边界上已知函数符号，要证明区域内保持同号，可假设内部出现反号值。闭区域上的连续函数会取得反号极值，然后利用极值点导数符号与 PDE 制造矛盾。

一阶方程中，内部极值点满足。若方程在该点迫使，便与严格反号极值矛盾。

二阶椭圆型方程中，内部极大值点的 Hessian 半负定，内部极小值点的 Hessian 半正定。将这些符号代入主部二次型即可制造矛盾。