径向、多元与全微分综合

🏠 第15章概念导航 · 微分方程题库 · 径向 PDE 与可加分离 · 全微分相容条件

方法模板

• 、 时，二维 Laplace 算子为

  若题设在原点有二阶连续偏导，积分产生的 项必须删除。

• 、 时，

• 存在的必要条件是 ；它常把未知函数压成一元常微分方程。

• 立即给出 ，化成“只含 的项 + 只含 的项 ”后令两项分别等常数。

必考

880 第7章基础解答 7

原题

设 有二阶连续导数，满足，求 。

解析

令 、。当 时，，即，积分得

题设要求在包含原点处具有二阶连续偏导，故 。因此

880 第7章综合解答 5

原题

设 有二阶连续导数，、。求 ，使，

解析

记

由 ：，即，这是欧拉方程，通解为 。两个初值给出

此时，故

1000 强化篇第15章 3

原题

设 具有连续偏导数，且，函数满足 ，求 。

解析

令 。沿对角线使用链式法则：，故， 给出 ，所以

1000 强化篇第15章 33

原题

设 具有二阶连续偏导数，且，已知 ，求 。

解析

由可加分离结构，，代入并除以正量 ：，第一项只含 ，第二项只含 ，故存在常数 使

题设 保证 。两次积分：

因此

880 第7章拓展 3；1000 强化篇第15章 40

原题

设 有二阶连续导数，、，且为全微分方程。

1. 求 ；
2. 求该全微分方程的通解。

解析

取

由 得，所以，结合初值得

从 对 积分可取势函数，利用 可直接核验 。故通解为

拓展

880 第7章综合解答 6

原题

设 在 上有二阶连续导数，、，且满足 。求 及其在 上的最大值。

解析

令 、。由得到，故 ，从而，两个初值给出 ：

，故最大值在 处取得：

880 第7章综合解答 12

原题

设 有二阶连续导数，。在 的区域内存在 ，使

求 及其极值。

解析

令 。由全微分条件 得，令 ：，积分得 ，再积分并代入 ：

当 时，，故 处取得最小值

在 上无最大值。

880 第7章综合解答 13

原题

设 在 内有二阶连续导数，记，若，且

求 。

解析

令 。逐项求偏导并合并可得

右端 ，故，于是， 给出 ；又给出 。所以