考研笔记

微分算子法：把微分方程看成线性算子方程

这一页在记什么

把常系数线性微分方程写成

它和线性代数里的 是同一种结构：左边是线性变换，右边是目标对象，求特解就是找一个原像；齐次解则是核空间。

因此总结构是

使用边界：线性 + 常系数

线性只要求未知函数 及其导数一次出现，可以有 、，不能有 、、、。

常系数更关键。若，则 是关于同一个算子 的多项式，才能稳定地因式分解、移位、展开。

变系数时要谨慎，因为 和 不可交换：

所以

一句话：

常系数线性，是微分算子法最自然的环境。

齐次方程：指数函数把微分变成代数

指数函数是求导算子 的特征函数：，所以，齐次方程 中试 ，就得到特征方程，这说明特征方程是“指数函数把算子代数化”的结果。

二阶常系数齐次方程的三类通解也都从这里来：

  • 两个不同实根 ：。
  • 二重实根 ：。
  • 共轭复根 ：。

其中复根情形来自欧拉公式：

右端为什么只偏爱几类函数

算子法最适合的右端是对求导封闭的有限维函数族。

例如，对 中的函数求导，结果仍然落在 中：

于是无限维的求导算子，在这个二维空间里就变成一个 矩阵。待定系数法看起来是在“猜形式”，本质上是在这个有限维不变空间里解线性方程组。

因此 、多项式、、 适合算子法； 而 这类函数反复求导通常不会留在有限维线性空间里，不适合硬套同型待定。

移位公式：指数因子把 平移

若 ，则

所以对任意常系数多项式算子 ，

反过来求特解时常写成

这就是指数替换、微分方程算子法、多元偏微分里的“指数替换消一阶项”背后同一个动作：指数因子会把微分算子平移。

指数三角右端：复指数 + 一次性移位

纯三角函数可以看成 的指数三角题。对，取复多项式，则

所以可以先解复辅助方程

一次性移位后：

于是求特解被压成，最后取实部。

这条路线可以压成一句：

把合并成，然后一次性移位

当 是常数且 时，直接得到；遇到共振时， 里会出现 因子，解 时自然会多出 。

共振本质：右端模式落进了核

若右端是 ，并且，则可以直接除：，若，说明 。这时照抄 会被左边算子杀成 ，不可能得到右端，这就是共振。

如果 是 重根，则

移位后，这表示算子前面多了 ，求特解时相当于要多积分 次。因此要补 ：

是几重特征根，特解就补几个

最小例子是，二重共振则是。这比“口诀式乘 ”更可算：原模式在核里，求原像时要进入广义特征函数方向。

补 后为什么要重新求导

共振三角题里常见的短算来自乘积法则。以 为例，若 满足 ，则

所以

这条恒等式解释了共振题里的“补 求导”：原来的 会被算子杀掉；乘上 后，乘积法则会漏出一个低阶项。

算子倒数展开：有限维空间上的逆

形式上的表示：在合适的函数空间里，给右端 找一个关于 的逆像。

多项式右端最典型。若 是 次多项式，则，所以任何按 展开的无穷级数作用到 上都会自动截断。例如

比如作用到二次多项式时，只需要保留到 。

这里和无穷级数里的是同一个代数展开，只是把普通变量 换成了算子 。它能安全使用的原因，是多项式空间上高阶导数会归零。

特解不唯一：积分常数属于齐次自由度

算子法里出现 时，本质是积分。积分常数不会影响“求一个特解”，因为它通常会进入齐次解自由度。

若 和 都满足，则，所以两个特解之差必为齐次解。

做题时可以这样处理：

  • 求特解时，积分常数取 ；
  • 复多项式里会被 杀掉的常数项尽量不设；
  • 最后若题目要求通解，再统一加上 。

一次性移位法

遇到，固定流程是：

  1. 取 ，把右端写成。
  2. 设复辅助解。
  3. 把 一次性移成 。
  4. 解。
  5. 最后取。

右端为纯指数、纯三角或纯多项式时，分别取 、 或 。多项式右端若 ，先拆出 ，再在有限维多项式空间上展开 。

压缩成一句：

多项式运算取实部

考场最小路线

  1. 写成 。
  2. 先解 ，得到齐次解和共振重数。
  3. 右端带 或 时，合并成 。
  4. 设，一次性移位 。
  5. 解；常数直接除，多项式用有限展开或比较系数。
  6. 移位后出现 因子时，说明共振重数为 ， 会多积分 次。
  7. 求一个特解时积分常数取 ；求通解时最后加 。

一句最该记住的话

微分算子法的本质，是在合适的有限维函数空间里，把求导问题降成线性代数问题。

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