常系数线性方程特解设型

总结构

由特征方程决定。的设型由右端函数族及对应频率的共振重数决定。

待定系数法：完整设型速查

针对，记特征多项式。先查表设，再求导代回、比较系数；通解为。

① 多项式 × 指数：不共振 / 一重 / 二重

右端为，是次多项式，设。

与特征方程的关系	判定条件	特解设型
不是特征根：不共振
一重特征根：一重共振
二重特征根：二重共振

多项式右端就是；纯指数右端就是。

右端	不共振	一重共振	二重共振
非零常数
一次多项式
二次多项式

，

纯多项式的共振可直接看方程系数：不共振；一重；二重。

② 多项式 × 指数 × 三角

右端为，其中。令，都设成完整的次待定多项式；若右端只有一种三角函数，就取其多项式次数。

与特征方程的关系	特解设型
不是根：不共振
是根：一重共振

实系数二阶方程中，非实根成共轭对，不会出现三角型的二重共振。 共振条件可直接记为；纯三角型取，即。

右端（）	不共振	一重共振
或

或

③ 必背规则

统一口诀：照右端设型，遇到几重根，整体补乘几个。 判的是或的重数，不是右端含几个。
多项式各次项设全，正弦余弦成对设。 即使右端缺项，也不能在设型时省掉相应待定项。
右端是几项之和，就分别判共振、分别设型，再相加：。
整体补乘，不要把它改成任意的次多项式。 如二重共振的应设。
表内字母是待定系数，代回后确定；齐次解中的才是任意常数。
推广到高阶常系数方程仍是补乘，为对应特征根的重数。

非标准右端

、、等函数反复求导后不落在有限维封闭函数族内，转用常数变易法。

补充判型

：都是特征根，多项式部分升一阶，指数部分补。
：指数三角部分共振，多项式部分不共振。
：一阶线性方程，积分因子为。
：一阶齐次方程，令。

补充例题

一重指数共振

中是一重特征根，可取，故

二重指数共振

令后得到，故

指数三角共振

中是特征根。可取，所以

多项式与指数分别共振

对，与都是特征根。分别求特解后得到

分拆右端

对，共振，不共振，故

考研笔记