常系数线性方程特解与共振

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方法模板

• 先解特征方程，写齐次通解。
• 右端为 时，普通设型为 ，其中 是 作为特征根的重数。
• 右端含 、 时，把 与特征根比较；共振重数仍决定补乘 。
• 只求一个特解时可用算子移位；要写通解时必须补上完整齐次解。
• 无穷端有界或趋零条件用于删除增长模态，不能删除受迫产生的特解。

必考

880 第7章基础选择 3

原题

微分方程的一个特解形式为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

特征根为 ， 不共振，所以指数部分设 。一次多项式右端不共振，仍设一次多项式 。故选

880 第7章基础填空 7

原题

方程满足 时 ，求其特解。

解析

齐次解 均增长，极限条件迫使 。直接验证满足原方程，因此

880 第7章综合选择 2

原题

二阶常系数齐次方程的通解为，对应非齐次方程右端为 ，且 、，则特解为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

齐次算子为 。设多项式特解 ，代入得 。通解为，初值给出 ，故

选 C。

880 第7章综合解答 7

原题

二阶常系数非齐次方程有特解，求该方程的通解及 。

解析

不应在右端产生 ，故 是特征根：，把 代入。令 ，移位后，作用于 并与 比较。结合 可得

齐次根为 。因此

1000 基础篇第15章 17

原题

微分方程的特解形式为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

特征多项式为， 是二重特征根，故设型需补乘 ：

选 D。

1000 基础篇第15章 20

原题

求微分方程在 时有界的特解。

解析

齐次解为，当 时增长，故 。设特解 ，比较系数得 。所以

1000 强化篇第15章 28

原题

函数 满足，且 时 ，求 。

解析

通解为，在 处展开并依次令常数项、一次项、二次项为 ，三次项系数为 ，得到，故

拓展

880 第7章基础解答 6

原题

求方程的一条积分曲线，使其在原点处有拐点，且以 为切线。

解析

通解为，条件分别给出，解得 ，所以

并且 在原点两侧变号，拐点条件得到核验。

880 第7章综合填空 6

原题

求方程的通解。

解析

多项式部分取特解 。 与齐次解共振，可取特解 。故

1000 基础篇第15章 13

原题

曲线过点 ，该点切线垂直于直线 ，并满足，求曲线方程。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

给定直线斜率为 ，故切线斜率为 。通解为，由 、 得 ，所以

1000 基础篇第15章 14

原题

曲线经过原点，在原点处的切线与 平行，并满足，求曲线方程。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

通解为，由 得 ；切线斜率为 ，故 。于是

1000 基础篇第15章 19

原题

求微分方程的通解。

解析

令 ，则左端化为 ，故，两次积分并把积分常数归入齐次解：

1000 强化篇第15章 25

原题

微分方程的特解形如（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

。常数部分不共振，取常数特解；频率 的三角项与齐次方程共振，需要补乘 。故选

1000 强化篇第15章 26

原题

求微分方程的通解。

解析

齐次根为 。令 ，原方程化为，取 ，故

算子法补充例题

指数右端的共振重数

原题

分别求一个特解：

解析

设 为左端算子，并令 。第一题，取 ，则 ，故

第二题 ，移位后 ，取 ：

移位后出现 ，表示需要积分 次；这正是重根共振时补乘 的来源。

多项式右端的算子倒数截断

原题

求的一个特解。

解析

写成 ，令 ：，由于三次求导后多项式归零，形式展开会有限截断：，积分一次得

纯三角共振

原题

求的一个特解。

解析

用 。设复辅助解 ，则，取 ，由 得 。取实部：

指数移位后的三角共振

原题

求的一个特解。

解析

右端复指数为 。令 ，则，取 ，由 得 。取实部：

指数三角多项式共振

原题

求方程

的一个特解。

解析

取，则右端是 的实部。设 ，移位后，取 ，比较系数得

取实部得到

复多项式中的常数项会还原成齐次解，求一个简洁特解时可直接取零。