线性方程解空间与反推

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核心结构

设线性算子为 。

• 齐次方程 的解集是线性空间。
• 非齐次方程 的解集是 。
• 两个非齐次特解之差满足齐次方程。
• 若 都满足同一个 ，则 仍为非齐次解的条件是 。
• 反推常系数方程时，先从齐次模态读出特征根，再把一个非齐次特解代入求右端。

必考

880 第7章基础选择 4

原题

设 是的两个不同特解，其中 在 内连续且不恒为零。下列结论中错误的是（ ）。

• (A) 常数
• (B) 是方程的通解
• (C) 在任一点均不为
• (D) 常数，其中

解析

通解为 。两个不同特解对应不同常数，因此其差仍是非零常数倍的 ，不会在某点消失；两个非零特解之比为常数。差函数通常随 变化，故错误的是

880 第7章基础选择 5

原题

设 是的三个线性无关的解，则该方程的通解为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D) ，其中

解析

由线性性，

要仍满足原非齐次方程，系数和必须为 。三个解线性无关，带一个约束后恰有两个自由参数，故选

880 第7章基础填空 10

原题

二阶线性非齐次方程有三个特解 ，求其通解。

解析

以 为一个非齐次特解，则 、 都是齐次解；二者线性无关。因此

880 第7章基础填空 11

原题

二阶常系数线性方程有特解，求该方程的通解。

解析

项不能在右端产生 ，故 是特征根； 作用后不能留下 项，故 也是特征根。于是齐次算子为，又，故原方程为 ，通解为

880 第7章综合选择 3

原题

以为通解的一阶微分方程为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

取对数得 ，求导得 。消去 ：，所以，选 。

880 第7章综合选择 4；1000 基础篇第15章 3

原题

设 是一阶线性非齐次方程的两个解。若 是该非齐次方程的解， 是对应齐次方程的解，求 。

880 选项：

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

1000 选项：

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

对线性算子 ，有

故

从而

1000 基础篇第15章 16

原题

某常系数齐次线性微分方程的通解为，写出该微分方程。

解析

特征根为，故特征多项式为，所求方程为

1000 基础篇第15章 18

原题

已知

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求该方程。

解析

由解之差得到齐次解 、，故齐次算子为，取特解 代入：，因此方程为

1000 强化篇第15章 10

原题

以 和 为特解的一阶非齐次线性微分方程为______。

解析

两特解之差为 ，故对应齐次方程为 。代入 得右端：，所以

拓展

1000 强化篇第15章 7

原题

以 与 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

要求 是至少二重特征根； 要求 是至少二重特征根。最低阶特征多项式为，故方程为

原 OCR 的导数上标有缺损，此式由两组特解唯一确定。

1000 强化篇第15章 27

原题

三阶常系数齐次线性微分方程有特解 与 ，则该方程为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

实系数方程含特解 ，故 也属于解空间，特征根为 ；另有根 。于是，所以

原 OCR 中部分三阶导符号缺失，应按特征根还原。