无约束极值、局部主项与退化驻点

判定顺序

1. 先找驻点。
2. Hessian 行列式 非零时，用正定、负定、不定分类。
3. 时立即改用配方、最低阶主项或路径。
4. “极值”只看局部邻域；“最大值、最小值”还要检查全局范围和边界。

退化点的典型处理见同一点沿两条路径变号、配方后找最低阶符号。

题目

880 第5章 基础选择 6【拓展】

原题

设可微函数 在 处取得极大值，则（ ）。

• (A) 在 处导数小于零
• (B) 在 处导数大于零
• (C) 在 处导数等于零
• (D) 在 处导数不存在

解析

固定 后， 是一元可导函数 的局部极大值点，故，选 。

880 第5章 基础选择 7【拓展】

原题

设，则 在 处（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 取得极大值
• (D) 不取得极值

解析

该点是驻点。记 ，在 处 。二阶偏导为

代入得 ，Hessian 正定，故取得极小值

选 。

880 第5章 基础解答 2【必考】

原题

设 ，恒有，求 的最小值。

解析

令 ，再设

则 ，所以， 时取等号，对应 或 。故

880 第5章 基础解答 3【拓展】

原题

求的极值。

解析

驻点方程给出

因此驻点分为

在 处 Hessian 为负定，取得局部极大值

在 处 Hessian 行列式小于零，均为鞍点。函数无局部极小值。

880 第5章 综合选择 2【必考】

原题

设 在 处连续，且

则 在原点（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 不取得极值
• (D) 无法确定

解析

连续性与有限极限给出 。充分靠近原点时，比值为正，而对非原点成立，故 。原点是严格极小值点，选 。

880 第5章 综合选择 3【必考】

原题

设 在原点某邻域内连续，且

则 在原点（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 不取得极值
• (D) 无法确定

解析

在非原点为正，且比值充分靠近原点时为负，所以，原点是严格极大值点，选 。

880 第5章 综合选择 7【拓展】

原题

设 可微，且对任意 有

使 成立的一个充分条件是（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

从 到 ，若 增大且 减小，两步都会使函数值增大。因此充分条件为

选 。

880 第5章 综合解答 7【必考】

原题

设在点 处取得极大值，求 满足的条件。

解析

驻点条件为

在该点

Hessian 负定要求 。故

并且极大值点中的 。

880 第5章 综合解答 9【必考·代表题】

原题

设

其中 为常数，求 的极值。

解析

，令 ：，由得 。此时

故驻点为

在两点都有 ，所以均为局部极大值点。函数值分别为

对每个固定 ， 给出最大值；再比较两个连通分支可知 是全局最大值。函数无最小值，因其可趋近于 而保持为正。

四次函数的退化驻点【必考·代表题】

来源

• 1000 基础篇第13章 20
• 1000 强化篇第13章 23
• 旧题页“多元极值四题：约束降维、退化路径、局部与全局”

原题

设，判断驻点 的类型，并求函数的极小值点、极大值点个数。

解析

驻点方程为

相减得 ，进而得到三个驻点

在 处

故两点均为极小值点。

在原点二阶判别式为零。沿 ，；沿 ，，原点是鞍点。因此函数有两个极小值点，无极大值点。1000 基础题选 ，强化题选 。

1000 基础篇第13章 21【必考】

原题

求的极值。

解析

驻点方程给出 与 ，故驻点为

Hessian 为

在 处行列式为 且 ，故取得局部极大值

在 处行列式为 ，是鞍点。函数无局部极小值。

1000 基础篇第13章 22【必考·代表题】

原题

求的极值。

解析

先配方：，驻点方程给出

故驻点为 与 。

在 处 Hessian 为

其行列式为 ，故取得局部极小值

在原点沿 有对充分小的非零 成立；沿 有，因此原点是鞍点。

1000 强化篇第13章 2【拓展】

原题

设 在全平面成立，则（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

从 到 ， 增大使函数增大， 减小也使函数增大。因此，选 。

含参数平方积分的最小值【拓展·代表题】

来源

• 1000 强化篇第13章 3
• 旧题页“含参数平方积分：常规求偏导与正交观点”

原题

已知，则使 取得最小值的 为（ ）。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

令 ，则，直接对参数求偏导：

令二者为零，得到

解得

平方积分关于 严格凸，驻点就是唯一最小值点，选 。

误差 在最优点与可调整方向 正交，这正是两个偏导为零的含义。

1000 强化篇第13章 24【必考】

原题

设

判断 是否为 与 的极小值点。

解析

记 。充分靠近原点时，所以原点是切片 的极小值点。

取路径 ，则，故原点不是二元函数的极小值点，选 。

1000 强化篇第13章 25【必考】

原题

设，判断 的极值与最值性质。

解析

在 时 ，故，且等号只在原点取得，所以原点是唯一的局部极小值点。

取 ：，函数没有全局最小值，故原点不是最小值点。选 。

1000 强化篇第13章 27【必考】

原题

设，当 满足什么条件时， 有唯一极大值？

解析

Hessian 为

严格凹要求 负定：

因此

此时 Hessian 负定且可逆，驻点唯一，并且是全局唯一最大值点。

局部主项判极值补充训练

以下题统一使用， 时，函数增量的符号由 决定； 时需继续研究高阶项。

定号分母与负的非零极限

原题

设 在 处连续，且

则 在 处（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 不取得极值
• (D) 无法确定

解析

连续性给出 。去心邻域内 ，而比值充分接近 ，故 。原点是严格极大值点，选 。

根式定号量与正的非零极限

原题

设 在 的某邻域内连续，且

则 在 处（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 不取得极值
• (D) 无法确定

解析

去心邻域内 ，比值充分接近 ，故原点是严格极小值点，选 。

变号主项排除极值

原题

设 在 的某邻域内有定义，且

则 在 处（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 不取得极值
• (D) 无法确定

解析

在 时，，充分靠近原点时 。沿 时增量为正，沿 时增量为负，故原点不取得极值，选 。

此处两条路径已经给出相反符号，结论可以确定，无需选“无法确定”。

极限常数为零：符号信息消失

原题

设 在 的某邻域内有定义，且

则 在 处（ ）。

• (A) 必取得极小值
• (B) 必取得极大值
• (C) 必不取得极值
• (D) 无法确定

解析

令 。函数增量分别取

三者除以 后都趋于 ，但依次对应极小值、极大值和无极值。选 。

径向主项的临界系数

原题

设 ，且

当 时， 在 处（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 不取得极值
• (D) 无法确定

解析

记 ，则， 时 ，去心邻域内 ，故取得严格极大值，选 。

正定四次式与负的非零极限

原题

设 在 的某邻域内有定义，且

则 在 处（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 不取得极值
• (D) 无法确定

解析对 成立。比值趋于 ，故原点是严格极大值点，选 。

真正的无法判定

原题

设 在 的某邻域内连续，且

则 在 处（ ）。

• (A) 取得极小值
• (B) 取得极大值
• (C) 不取得极值
• (D) 无法确定

解析

下列三个增量均满足题设：

它们分别使原点成为极小值点、极大值点和无极值点。故选 。

链接

• 🏠 第13章：多元函数微分学总览
• 题库：多元函数微分学题库
• 概念：Hessian 与二元极值
• 参数积分：积分号下求导