多元条件极值与 Lagrange 乘数法
使用条件
在约束
约束上的所有切向变化率都为零，因此
多个约束
优先结构化降维
使用 Lagrange 乘数法前先检查：
- 约束能否直接消去一个变量。
- 约束能否替换目标函数中的某个整体。
- 椭圆能否伸缩成圆，二次型能否通过配方或特征值化简。
- 固定一个变量后，其余变量是否有明显的最优位置。
- 截距、距离、面积和体积中是否隐含 AM-GM 或 Cauchy 等号结构。
代表题：切线截距三角形、椭球切平面的截距乘积。
闭集上的最值
连续函数在紧集上一定取得最大值和最小值。对闭区域应分层检查：
- 内部驻点；
- 每一段边界上的条件极值；
- 边界的端点、尖点和约束非正则点。
最后比较所有候选值。只列 Lagrange 方程不能代替存在性与全局比较。
代表题：闭圆盘上的内部与边界比较、闭曲线围成区域上的最值。
边界核验
- 消元后必须保留剩余变量的可行范围。
- 约束非正则点
需要单独代入检查。 - 约束集无界时，还要研究无穷远处的函数值。
- “极值”是局部概念；“最大值、最小值”要求全局比较。