考研笔记

条件极值、距离与几何最优化

解题顺序

  1. 能消元时先消元，并写出剩余变量的可行范围。
  2. 约束能替换目标函数中的整体时，直接代换。
  3. 椭圆、二次型先旋转或伸缩成圆。
  4. 目标中出现乘积时，先找 AM-GM、Cauchy 或固定和下的乘积上界。
  5. 结构无法明显压缩时使用拉格朗日乘数法，并检查全部候选点。

对应题目：利用和与平方和消元、椭球切平面截距乘积、先固定一个变量优化另外两个。

题目

880 第5章 基础解答 4【必考】

原题

设曲面，求原点到 的最短距离。

解析

令

则

距离平方为

故

等号在 时取得，对应点

880 第5章 基础解答 5【必考】

原题

求在闭区域 上的最大值。

解析

内部驻点为 ，函数值分别为 。

边界上 ，故

该式单调不减，边界最大值在 取得。比较内外候选点：

在处取得

880 第5章 基础解答 6【必考·代表题】

原题

空间曲线

上的点到原点的距离为 ，求 的最大值、最小值及相应点。

解析

令

实数 存在要求，因此

距离平方为，在 上递增。故

时 且 ，所以 ； 时 ，所以 。

880 第5章 基础解答 7【必考】

原题

在第一象限内，过曲线上任一点作切线。若切线与两坐标轴围成的三角形面积最小值为 ，求 。

解析

在点 处的切线为，两截距三角形面积为，分母满足

又，等号在 时成立，所以分母最大为 ，从而，由 得

880 第5章 综合解答 4【拓展】

原题

求在约束 下的最大值。

解析

令 。由约束

实数 存在要求 。目标函数为

故

时 ，对应点为 。

880 第5章 综合解答 5【必考·代表题】

原题

求椭球面在第一卦限上的切平面与三个坐标面围成的四面体的最小体积。

解析

椭球面上一点 处的切平面为，三轴截距分别为

故四面体体积为，令

由 ，，因此

等号在 时取得。

880 第5章 综合解答 6【必考】

原题

设

其极小值为 。求 ，使椭圆所围面积最大。

解析

一元函数 在 处取得局部极小值 ； 项同理。因此

椭圆面积为 。固定 时，，等号在 时成立。故

880 第5章 综合解答 8【拓展】

原题

设

在 上的最大值、最小值分别为 ，求 。

解析

对应对称矩阵为

两个特征值为 ，正是单位圆上的最大值与最小值。因此

880 第5章 综合解答 13【拓展】

原题

求曲线上的点到原点的最长距离与最短距离。

解析

令

则约束为，距离平方为 。故

最短点为 ，两坐标同号；最长点为 。

880 第5章 综合解答 16【必考】

原题

设 ，且，求在 、 下的最小值。

解析

由加权 AM-GM，

等号要求 。结合 得 。所以

1000 基础篇第13章 24【必考·代表题】

原题

求曲线上的点到原点距离的最大值和最小值。

解析

令

约束化为，原点在 坐标中对应 ，故，由 ，

二次函数在 处取最小值，在左端点取最大值。因此

最近点为，两处符号相同；最远点为 。

1000 强化篇第13章 22【拓展】

原题

函数 在约束下（ ）。

  • (A) 有最大值，无最小值
  • (B) 无最大值，有最小值
  • (C) 有最大值，有最小值
  • (D) 无最大值，无最小值

解析

约束给出 ，且，在 上，故最小值为 ，在 处取得；函数向无穷远发散，没有最大值。选 。

1000 强化篇第13章 28【必考】

原题

求 在约束

下的最大值与最小值。

解析

令 ，则

存在实数 的充要条件是，化简得，所以

1000 强化篇第13章 29【必考】

原题

求曲线

上距离 平面最远和最近的点。

解析

与上一题同理，实点存在要求，故 。距离为 。

端点处 Cauchy 等号成立，故 。因此

最近点最远点

1000 强化篇第13章 30【必考】

原题

求在约束

下的最大值与最小值。

解析

由第二个约束，再由 ，，所以 。因此

最大值在 处取得，最小值在 处取得。

1000 强化篇第13章 31【必考】

原题

求曲线

上一点 ，使该点处切线与两坐标轴在第一象限围成的面积最小。

解析

在 处的切线为，截距三角形面积为，分母满足

由约束及 得 ，等号在 时成立。因此

1000 强化篇第13章 32【必考·代表题】

原题

圆内切于椭圆

求 ，使 所围面积最小。

解析

是圆心 、半径 的圆。椭圆包含该圆的充要条件可写成支撑函数不等式：对任意单位向量 ，

记 ，等价于，最小面积椭圆在接触方向出现二重根。设二重根为 ，由 得，令 ，则，求最小值得 ，所以

即

此时 ，确实包含圆并在对应方向相切；最小面积为 。

1000 强化篇第13章 35【必考·代表题】

原题

设

  1. 当 时，求 的最大值。
  2. 当 时，判断最大值是否存在并求出。

解析

固定 后，，由 ，且 ，可取，等号在 时成立。因此只需最大化

其内部非零驻点 满足 ，是极小点。最大值只需比较

故最大值总存在，且

当 时，

在 处取得。

1000 强化篇第13章 36【必考】

原题

设，求在 上的最大值与最小值。

解析

内部驻点为 ，函数值为 。

三条边分别为：

  • ：；
  • ：；
  • ：。

逐一检查边界驻点和端点，得到

在处取得 在处取得

1000 强化篇第13章 37【必考】

原题

设，求其在上的取值范围。

解析

内部驻点方程为

可行的内部解为 ，函数值为 。

三条边：

  • ：；
  • ：；
  • ：。

检查各边驻点和端点，边界最小值为 ，最大值为 。与内部点比较可得

最小值在 处取得，最大值在 处取得。

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