累次积分、换序与含参求导

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方法选择

换序先写区域不等式，再确定新外变量范围；曲线出现转折时分段。
原次序出现不可积原函数时，检查换序后能否配微分或形成几何面积。
含参二重积分优先把区域固定；直接 Leibniz 求导时同时处理外上限、内上限和内下限。
反向积分限先提出负号，避免把有向累次积分误画成普通区域。

必考

880 第6章基础选择 3

原题

交换积分次序：

解析

两段上边界在相接，整体区域满足，故

选。

880 第6章基础填空 1

原题

求，

解析

区域为。换序后先积：，令，则

880 第6章基础填空 2

原题

设，求。

解析

固定后区域为。对上边界求导：，故，所以。

1000 基础篇第14章 6

原题

计算，

解析

交换次序后，区间长度正好约掉分母：

1000 基础篇第14章 8

原题

交换的积分次序。

解析

固定，条件给出左右两段：

OCR 选项只保留了两个分段中的单项；完整换序式必须同时包含两段。

1000 基础篇第14章 11

原题

设是第一象限内位于与之间的区域，求，

解析

改用作外变量：，因此

1000 强化篇第14章 10

原题

计算，

解析

先把反向积分限提出负号，再在三角形上换序：

1000 强化篇第14章 22

原题

计算，

解析

换序后：，内层是半径的四分之一圆面积，故

1000 强化篇第14章 23

原题

计算，

解析

区域为，交换后

令，得

1000 强化篇第14章 27

原题

求

解析

固定，有。故

选。

1000 强化篇第14章 28

原题

设，求。

解析

外上限处内积分上下限相等，因此该边界项为零。内下限求导给出

所以

拓展

880 第6章综合填空 3

原题

计算，

解析

交换次序后，故，令，得到。

1000 基础篇第14章 5

原题

计算，

解析

换序后：

1000 基础篇第14章 7

原题

交换的积分次序。

解析

由得，故

选。

1000 强化篇第14章 14

原题

计算，

解析

换序后，内层令：，故

1000 强化篇第14章 15

原题

计算，

解析

先积：，含的部分为奇函数，故

1000 强化篇第14章 32

原题

计算，

解析

换序后，两项分别为与，故

1000 强化篇第14章 40

原题

记，求整数，使

解析

令，则为奇函数。对，分部积分得，分别取，得到左端为，故。

考研笔记