函数方程与恒等式证明

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必考

880 第2章基础填空 15

原题

设 在 内有定义，且对任意 有，其中，且 ，则 ____。

解析

题中 按微分定义的常用记法理解：对每个固定的 ，它是 时的高阶小量；严格记号应写为 。

固定 ，把等式除以 ：，令 ，右端极限存在，所以 在任意 处可导，且，令 ，则 ，，故

代回时，对每个固定 ，余项为

记号边界：若把题面的 强制解释为与 无关的同一个函数，题设不相容。令 消去 ，再交换 ，可推得 ；代回又迫使 ，此时 ，与极限条件矛盾。

880 第2章基础解答 6

原题

设 在 内满足，且 。证明 在 内可导，并求 。

解析

先令 ，得 。固定 ，对充分小的 写成，由函数方程，

当 时，最后一个差商趋于 ，故，从而 在每个 处可导。积分得到，由 得 ，所以

模板：函数方程给出“任意点增量”与“基点增量”的联系；把已知基点导数搬到任意点，再由导数确定函数。

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