考研笔记

函数方程的差商迁移与恒等式证明

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差商迁移

函数方程若能把任意点增量写成某个基点增量，就能把基点导数搬到任意点。

对，先令 得 。固定 并写 ：

已知 后，右端极限直接给出 。

代表题：乘法型函数方程求导。

由增量式得到微分方程

若

其中高阶小量可依赖于固定的参数 ，严格记为 。固定 、除以 并令 ，得到，随后结合初值解微分方程，并代回函数方程检查相容性。

代表题：增量函数方程与一阶微分方程。

恒等式证明

证明两个可导函数恒等时，可令 ：

  1. 证明 ；
  2. 在连通区间上推出 为常数；
  3. 用一个基点求常数。

若定义域分成多个连通分支，每个分支都要单独确定常数。

条件边界

  • 函数方程给出的代换必须保持变量仍在定义域内。
  • 从 推出常数需要区间连通。
  • 解出的微分方程只给出候选函数，代回可排除与原函数方程不相容的分支。

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