积分方程、泛函方程与耦合系统

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方法模板

• Volterra 型积分先逐次求导；每求一次导数都记录由原式给出的初值。
• ，这是最常用的尺度换元。
• 含 时，先求导得到反射关系，再求导一次消去反射。
• 泛函方程先代入 或单位元，再对一个变量求导并令该变量取特殊值。
• 二元偏导条件沿曲线 使用链式法则：。

必考

880 第7章基础解答 3

原题

连续函数 满足，求 。

解析

先说明为什么能求导。 将积分拆成

因 连续， 也连续，由变上限积分求导定理，右端可导，故原等式保证 可导；求出的一阶导式中 仍可导，因此 还可再求一次导。于是：

原式给出 ，一阶导式给出 。于是，从而

880 第7章基础解答 4

原题

可导函数 对任意实数 满足，且 ，求 。

解析

令 得 。对 求导后令 ：，因此，由 得

880 第7章综合填空 8

原题

设 有连续导数，对任意 满足，且 ，求 。

解析

对 求导并令 ：，故

由 得 。在包含 的连续解支上取正号：

880 第7章综合填空 9

原题

设 有二阶连续导数，且，求 。

解析

求导得，再求导得 。由原式 ；把 代入一阶关系，得 。设，由 得，故

880 第7章综合解答 1

原题

设，且 存在，求 及 。

解析

令 得 。记 ，对 求导并令 ：，因此，局部解为

若题设要求 在整个实轴上取有限实值且恒等式对任意实数成立， 会产生正切函数极点，只剩全局解 。

880 第7章综合解答 10

原题

设 有一阶连续导数，，且

求 。

解析

利用

原式化为，求导得，原式在 给出 。结合 解得

880 第7章综合解答 14

原题

设 在 上有连续导数，、，且对任意 ，

其中，求 。

解析

关于 交换对称，而 为反对称函数，故其积分为 。再按 分层：，对 求导，得到，故 。由两个端点条件得

880 第7章拓展 2

原题

设 在 有连续导数，且

求 。

解析

用极坐标：

故，连续求导两次得 ，并由原式得到 。因此

1000 基础篇第15章 9

原题

设 有连续导数，，且，求 。

解析

记 。原式为，求导得，于是 ，并由上式在 得 。所以

1000 强化篇第15章 11

原题

当 时， 有连续一阶导数，且，求 。

解析

原式给出 。求导：

结合初值得

1000 强化篇第15章 12

原题

连续函数 对任意 满足

且 ，求 。

解析

左端即 。记该积分为 ，则，求导得，因此 ，再用 ：

1000 强化篇第15章 13

原题

函数 满足，且 在 处取得极值，求 。

解析

极值条件给出 。原式在 给出 。又，对原式求导：，结合初值得

1000 强化篇第15章 20

原题

连续函数 满足

1. 求 ；
2. 求曲线 与 轴在 上围成的图形绕 轴旋转所得体积。

解析

求导得 ，原式在 处给出 。解得

旋转体体积为

1000 强化篇第15章 32

原题

函数 满足

1. 证明 ；
2. 令 化为常系数方程，并求 。

解析

对原式求导：

故

令 、，则，因此，记 。为同时满足原泛函微分关系，以固定点 为中心写成

二阶欧拉方程原有两个常数；代回 后只剩一个自由常数。

拓展

1000 强化篇第15章 34

原题

函数 在 内可导。对任意 ，有

且 ，求 。

解析

记 。等式为，先对 、再对 求偏导，得到，令 ，利用 ：，积分并代入初值：

原 OCR 的积分上限字形模糊；由对称恒等式应还原为 。