Leibniz 公式与级数系数法

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Leibniz 公式

若 在目标点具有 阶导数，则

多项式因子的高阶导数很快归零。计算 在 点的高阶导数时，只有 对应的项可能保留：

代表题：1000 基础篇第4章 18、1000 基础篇第4章 17。

Taylor 系数法

若 在 处至少 阶可导，且，则由 Taylor—Peano 展开的系数唯一性，，只求一点的高阶导数时，直接寻找目标次数的系数。对数、反三角函数和有理函数都适合先调用母展开，再做平移、乘法或复合。

代表题：$x^2\ln(1-x)$ 的 $n$ 阶导数、反正切复合的奇数阶导数。

有理函数递推

设，由逐次比较系数，即可得到 的线性递推。目标导数为 。

代表题：1000 强化篇第4章 14。

微分方程递推

已知 时，先在目标点求 ，再对等式求导。复合项每次求导都要写出内层导数，避免漏乘。

代表题：1000 强化篇第4章 2。

题型训练

• 高阶导数、Leibniz、级数系数与递推
• 高阶导数与 Taylor 系数