极坐标区域与径向积分

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方法选择

• 过原点的射线给角度范围；圆、圆环和 给径向范围。
• 偏心圆写成 或 ，径向被积函数仍可保留原点极坐标。
• 两个圆域拼接时，先确定每个角度上的内外半径，再按交点角度分段。
• 、、 常触发 、 的角度换元。

必考

880 第6章基础选择 5

原题

将

化为直角坐标累次积分。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

是圆 ，角度范围给出 。按 分段：

选 。

880 第6章基础填空 6

原题

设 ，求，

解析

极坐标下，被积函数与面积元中的一个 相消，故

880 第6章基础解答 3

原题

设 ，计算，

解析

区域为 ，且径向上需在 分段：

计算得

880 第6章基础解答 5

原题

设 ，计算，

解析

极坐标下 ，故，令 ，得到

880 第6章基础解答 9

原题

设

由 所围，计算 。

解析

有效支撑区域在极坐标下为，故

880 第6章基础解答 10

原题

计算 ，其中 分别由双纽线

所围。

解析

（I）区域关于 轴对称， 关于 为奇函数，故积分为 。

（II）极坐标方程为 ，有第一、第三象限两个全等叶瓣：

880 第6章综合填空 4

原题

交换

中 的积分次序。

解析

。固定 时，，故

880 第6章综合解答 2

原题

设，计算 。

解析

两单位圆的公共弦为 ，区域关于 对称。直接按 写为，代入积分并用标准圆弓形积分，得到

880 第6章综合解答 13

原题

设 位于 一侧，由，及 轴围成，计算，

解析

区域是 的环形扇区。径向因子完全相消：，在 处分段并令 ，得

1000 基础篇第14章 10

原题

极坐标曲线 围成 ，求，

解析

1000 基础篇第14章 12

原题

设 ，，求，

解析

保持原点极坐标，区域为 。故

1000 基础篇第14章 13

原题

由 与 轴围成，计算，

解析

令 。区域变为 ，雅可比为 。因此

1000 基础篇第14章 14

原题

设 ，计算，

解析

将积分与交换 后的积分相加，分式之和为 ，故原积分是径向积分的一半：

1000 基础篇第14章 16

原题

设 ，计算，

解析

区域为 。径向积分后

1000 基础篇第14章 18

原题

计算

解析

区域为 。面积元约去第一个根式：

1000 基础篇第14章 23

原题

设 ， 位于圆盘 内、圆 外，求，

解析

先算半径 圆盘，再减去偏心小圆。小圆在极坐标下为 。故

1000 基础篇第14章 24

原题

在第一象限单位圆盘 上计算，

解析，令 ，径向积分为 ，故

1000 强化篇第14章 19

原题

设，计算 。

解析

极坐标下，故

1000 强化篇第14章 20

原题

计算

解析

第一块为 ；第二块为 。因此

1000 强化篇第14章 33

原题

设，计算，

解析

注意题目积分元已经是 。在 处分段：，直接积分得

1000 强化篇第14章 36

原题

设，计算，

解析

极坐标下， 相关部分关于 对称消失，故

1000 强化篇第14章 38

原题

设 ，计算，

解析

取第一象限 后乘 ：

令 并交换积分，得到

拓展

880 第6章基础选择 4

原题

设 ，将 写成极坐标累次积分。

• (A)
• (B)
• (C)
• (D)

解析

圆的极坐标方程为 ，仅在 上取到非负径向上限。因此

选 。

880 第6章拓展 3

原题

第一象限内， 与 及两坐标轴围成 ，计算，

解析

极坐标下

故

补充题

二次曲线夹出的环形扇区

原题

第一象限区域 由， 围成，计算，

解析

极坐标下 ，两径向边界之比恒为 ，故径向积分直接给出 ：

椭圆伸缩后的参数角

原题

设 由围成，计算 。

解析

令 。与以 轴为边界的 1000 基础篇第 14 章第 13 题相比，本题以 轴为边界，故新区域为，于是

相关概念

• 二重积分的极坐标区域与径向结构
• 二重积分换元工具箱