小区域极限与积分方程

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方法选择

• 小区域极限令 ，区域固定后提取被积函数最低阶主项。
• 可微函数在原点附近写成线性主项；各变量在缩放区域中的阶数可能不同。
• 积分方程中与积分变量无关的积分值先记为常数，再对整个区域积分求常数。
• 圆盘上的径向积分方程可转为一元变限积分，再用微分方程求解。

必考

880 第6章综合选择 3

原题

设 是以 为顶点的三角形， 是第一象限部分，且，判断下列关系中正确的一项：

A.

B.

C.

D.

解析

记 。区域面积为 ，且 ，所以，从而 。又 ，故选 。

880 第6章综合解答 5

原题

求

解析

无论题面按 还是 理解，局部主项均为 。令 ：

因此极限为

880 第6章综合解答 9

原题

设 可导且 ，求

解析

积分域是半径 的右半圆。 关于 轴为奇函数，积分为零；又 。故

极限为 。

880 第6章综合解答 10

原题

设 有连续导数，且，求 。

解析

先取 。极坐标下，求导得，令 ，解得，原方程只含 ，同一表达式也适用于 ，故

880 第6章综合解答 11

原题

设 在单位正方形上连续，，在原点可微且 。求

解析

可微性给出，区域内 ，故只有 项贡献四阶主项：

分母等价于 ，故极限为 。

880 第6章综合解答 12

原题

设 ，且，求 。

解析

记 。四分之一圆盘面积为 ，且

故多项式部分的积分为 ，从而，因此

880 第6章综合解答 14

原题

设 ，且

求 。

解析

方程右端说明 是径向函数加常数，因此 。由交换对称性，，区域面积为 ，且

积分方程两边在 上积分：，故 。

1000 强化篇第14章 4

原题

设 在 上连续，平均值为 ，且，求 。

解析

在 上积分。反向积分项为，令 ，三角形上的对称乘积积分为

故 ，所以 。

1000 强化篇第14章 34

原题

设 ，且

求 。

解析

记右端积分常数为 。由方程可知 为径向函数。对角度积分时，故 。再对原方程积分：

所以

相关概念

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