边缘分布与条件分布

🏠 第18章概念导航 · 多维随机变量题库

方法模板

一、三个密度，一条乘法公式

这就是第16章乘法公式 的密度版。三个方向都要会走：

已知	求	做法
联合	边缘	把 积掉：
联合 + 边缘	条件	分子联合，分母边缘：
边缘 + 条件	联合	相乘：

记忆钩子： "积掉一个变成边缘，除掉一个变成条件"

加法（积分）降维，除法归一化。

二、边缘的定限：唯一的技术难点

把 当常数，在竖直线 上扫描 的范围。三步：

1. 画支撑集 ；
2. 画一条竖直线 ，看它穿进穿出 的位置——这就是积分上下限；
3. 限里通常带 （这正是不独立的信号），并且 的定义域是竖直线能扫到 的那段 。

求 时改画水平线。

三、条件分布的几何意义：切一刀，再拉高到面积 1

固定 ，在曲面 上沿这条直线切一个竖直剖面，得到的曲线形状就是条件密度的形状；除以 只是把它竖直拉伸到积分为 1。

推论（考场极常用）：

因为剖面是水平线段，归一化后就是 。二维均匀分布的条件分布永远是一维均匀分布，区间端点由支撑集的边界给出。

四、 与 ：两条完全不同的路

这是本节的头号失分点。

条件	该用什么	公式
	条件密度（ 是零概率事件！）
	普通条件概率（分母是正概率事件）	，两个二重积分

不能写成

连续型下分子分母都是 。条件密度是通过极限 重新定义出来的，不是这个分式。 见 随机变量的条件分布。

五、“给定 后 服从…”型题目的标准开局

题面写成”当观察到 时， 在 上取值”，就是直接给了 。第一步永远是乘出联合密度：然后一切照常。不要试图绕过联合密度。

必考

880 第十八章基础解答 2

原题 设随机变量 的概率密度为

求：（Ⅰ）边缘概率密度 ，；（Ⅱ）条件概率密度 ，；（Ⅲ）.

解析 支撑集是以 为顶点的三角形（两条边是 ，右边被 截断），面积 ——所以密度取常数 恰好归一，这是个均匀分布。

（Ⅰ）边缘

竖直线 （）在 内的纵坐标从 到 ：，水平线 （）在 内的横坐标从 到 （注意左边界是 ，正负 统一）：， 是个三角形密度（帐篷形）， 是斜坡。两者之积 ，故 与 不独立（也可以一句”支撑集是三角形不是矩形”直接判掉）。

（Ⅱ）条件密度

即 。，即 。

两个条件分布都是均匀分布——因为联合密度是常数，符合方法模板第三条。

条件密度 必须写出 的范围，否则这道小问零分

单看是个与 无关的常数，不写范围就成了”在整条实轴上取常值”——积分发散，不是密度。 范围来自支撑集在 这一刀上的切片，这才是条件分布的全部信息量。

（Ⅲ） 分母是正概率事件，用普通条件概率：

1000 题强化篇第5章 6

原题 设 在给定 的条件下，.

（1）求 的概率密度 ；（2）若 表示不超过 的最大整数，求 的分布函数.

解析

（1） 直接用乘法公式：

又是同一个密度。 这道题是把上面两题倒过来出：那两题给联合求条件，这题给边缘和条件反造联合。三道题描述的是同一个二维均匀分布——

题	给什么	求什么
880 基础解答 2	联合	边缘、条件
1000 基础 3-10	”三角形上均匀”	边缘、条件、两种条件概率
1000 强化 5-6	边缘 + 条件	联合，再作变换

这三题合起来是一张"乘法公式的三视图"

记住这个三角形：（斜坡）、（帐篷）、两个条件分布都均匀。 考场上一看到”顶点 “或""，这一整套结论直接调用。

（2） 的取值落在 ，所以

关键观察：给定 后 关于 对称，故，即 与 相互独立，且 。

于是 是 与 的等权混合。记 ，用全集分解法：

分段（ 的取值范围是 ）：

• ：两项皆 ，；
• ：，；。得 ；
• ：，；。得 ；
• ：。

验证连续性： 得 ， 处得 ✓； 得 ✓； 得 ✓。处处连续， 是连续型（没有原子）。

与 独立不是显然的，必须点破

与 明显不独立（ 的取值范围随 变），但 的符号与 独立——因为每个切片都对称。 这是”函数可以毁掉相依性”的典型： 与 独立不需要 与 独立。 同类构造在 指示变量的联合分布 里还有四道。

1000 题基础篇第3章 8

原题 设随机变量 在区间 上随机取值，当观察到 时，随机变量 在区间 上随机取值，求：

（1） 的概率密度；（2）.

解析 “在区间上随机取值” = 均匀分布。这是上一题的同款开局。

（1） ，，相乘：，支撑集是三角形 。求 画水平线， 从 扫到 ：

验证： 时 （ 几乎不会靠近 ，因为它总在 右边）； 时 （可积的无穷，因为 的奇性够弱）。归一性：

（2） 所求区域： 且 。

固定 ， 的范围是 。因 有 ，故上限就是 ；又需 ，即 。

令 （，），记 ，积分限 ：

另解（无量纲化，推荐） 令 ，把问题搬到 ：，，所求变成 。

答案与 无关——这是无量纲化事先就能看出来的：整个题设在仿射变换下不变，答案只能是纯数。考场上如果算出的结果含 ，一定错了。

拓展

1000 题基础篇第3章 10

原题 已知二维随机变量 在以点 ，， 为顶点的三角形区域上服从均匀分布.

（1）求边缘概率密度 及条件概率密度 ，，并判断 与 是否相互独立；

（2）计算概率 ，.

解析 这就是上一题——三个顶点 围出的区域正是 ，面积 1，均匀分布的密度就是 。（1）与上题（Ⅰ）（Ⅱ）逐字相同， 也相同。

真正新增的是第二个条件概率，它把条件换成了零概率事件 ：

（即 ）。于是

另解（均匀分布的几何解释，口算） 已知 后， 在切片 上均匀，切片长 ；其中 的部分长 。比值 。

两个答案不同（ vs ），这正是命题人要你看见的

是把整个上半三角形拿来求条件——上半部分越靠右越宽，所以 偏大，答案 ； 只取一条水平切片——切片是均匀的线段，，答案 。 “条件在一个区域上”和”条件在一条线上”得到的分布不同，这是本章最容易混的一处。 更极端的例子在 随机变量的条件分布（Borel 悖论）。

1000 题强化篇第4章 5

原题 设二维正态随机变量 的概率密度为 ，已知条件概率密度

求：（1）常数 和 ；（2）边缘概率密度 和 ；（3）.

解析

方法一：反解二维正态的参数

这题反着用二维正态的条件分布公式，是本章最漂亮的一道。

先背下这条公式（见 二维正态分布）：若 ，则

条件均值是 的一次函数，条件方差是常数（与 无关）——这两条是二维正态的招牌。

（1）与（2）：先反解五个参数

把 与正态密度对照。指数写成 的形式：，于是

第二式对所有 成立，比较系数：

对 做同样的事（把 对调）：

两个 式相乘（这一步是钥匙）：（取正号：因为 而 ）。相除得 ，即 。代回：

均值方程组变成 ，代入得 ，故 。

于是边缘

都是标准正态。而 是条件密度（方差 的正态）的归一化常数：

（3） 代入二维正态密度公式（，）：

另解（（3）直接乘，跳过公式）

系数： ✓

指数： ✓

两条路结果一致。考场上第二条更保险——不必背二维正态密度的完整形式。

一个必须记住的对称性：

两个条件均值的斜率相乘等于 （这两个斜率就是” 对 的回归系数”和” 对 的回归系数”）。 本题两个斜率都是 ，所以 ，而且两个斜率相等恰好说明 。 这条在第19章讲相关系数时还会再用，见 二维正态分布。

别把条件方差 当成

里的 恰好也是 ，纯属巧合导致 。 条件方差总是小于等于边缘方差（）——“知道了 之后， 的不确定性只会减少”。 时条件方差为 ， 被 完全确定。

方法二：两个条件密度做比，直接求边缘

这题还可以更短：两个条件密度的分子都是联合密度，做比就把它消掉了。 不必先反解五个参数，只用条件密度的定义和归一化。

（1）先定常数

固定 ，条件密度对 的积分必须为 。平移不影响全实轴上的高斯积分：

另一个条件密度同理，所以 。

（2）做比，消掉联合密度

由 、，得到

别把右边写反：除以第二个分式时， 翻到了分子。本题 ，系数直接约掉；指数里的交叉项也恰好抵消：

于是

左边只含 ，右边只含 ，却对任意 都相等——只能是同一个常数 。 所以 、。再用边缘密度积分为 ，得 ：

（3）乘回去，得到联合密度

下次看到两个方向的条件密度，先试做比

做比消联合 → 分离 → 归一化定常数 → 乘回联合。 本题做比后交叉项消失，只剩一项含 、一项含 ，边缘密度就出来了。关键不是背二维正态公式，而是看出**“只含 的式子 = 只含 的式子”只能等于常数**。

链接

• 方法总纲：随机变量的条件分布
• 同章：联合分布函数与联合分布律 · 独立性的判定与反例 · 二维几何概型与线性变换
• 概念：联合分布与边缘分布 · 二维正态分布 · 二维均匀分布与几何概型
• 旧知识：条件概率与乘法公式 · 高数第14章 二重积分
• 下一步：全集分解法（把”给定 “的思路推广到离散条件）
• 易错清单：第18章易错点
• 章节导航：第18章 多维随机变量及其分布 · 题库