考研笔记

联合分布函数与联合分布律

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方法模板

一、 只有一个定义，四个方向要自己翻译

注意这是左下角的累积。考题偏爱另外三个角，必须现场翻译：

要求的用 写出来
（左下）
（右下）
（左上）
（右上）

右上角那条是本节的头号考点。 推导只有一步——对事件 、 用德摩根律：

记忆钩子： "1 减两个边缘，加回一个联合"

这就是第16章容斥公式 换了身衣服。 见 概率公理与容斥原理。

二、矩形不等式：一维没有的第四条性质

一维的分布函数只要”单调不减 + 右连续 + 两端 0/1”三条；二维多出这第四条，且它不能由单调性推出。判定”某函数是不是二维分布函数”时，前三条常常都过，栽在这一条上。

三、求 的分区域流程（密度型）

四步：

  1. 画支撑集（ 的区域 ），再画动点 ；
  2. 看 与左下角象限 的交，交的形状变几次， 就分几段；
  3. 每段按二重积分定限，先积容易的那一层；
  4. 验边界：相邻两段在分界线上必须相等； 时必须回到 。

分段数由 支撑集的形状决定，不由式子的复杂度决定

支撑集是矩形（含无界矩形 ）→ 常常只有 2 段； 支撑集是三角形 / 带斜边（如 ）→ 至少 3 段，且斜边两侧的表达式不同。

四、离散型：表格就是全部信息

联合分布律 排成表后：

  • 边缘 = 求和：行和给 的分布律，列和给 的分布律（“边缘”这名字就来自写在表格边上的那一行/一列）；
  • 独立 ⟺ 每一格都等于对应的行和×列和（ 个等式）；
  • 的特权：只需验一个等式，或直接算行列式
与独立

这正是第16章四格表 的翻版，也是线代 二阶行列式：“独立 = 表格降秩”。

必考

880 第十八章基础选择 1

原题 设二维随机变量 的分布函数为 ，则 .

A. B. C. D.

解析 记 ，，则所求为 。

选 A。

排除法（更快） 取 独立且都服从 ，令 。此时 ，，而 。

  • A： ✓
  • B： ✗（概率为负，立刻出局）
  • C： ✓
  • D： ✓

再取 ：真值 ，而 ，。

  • A： ✓
  • C： ✗
  • D： ✓

最后取 ：真值 ，，，。

  • A： ✓
  • D： ✗

只剩 A。

D 是"一维习惯"的直接后果

算的是 或——是”或”不是”且”。 一维里 之所以成立，是因为”不小于等于”只有一种方式；二维里”不在左下角”有三个象限。 这与第16章的”不都发生 都不发生”是同一个坑，见 样本空间与事件运算。

880 第十八章基础填空 1

原题 设二维随机变量 的分布律为

且事件 与 相互独立，则 ，.

解析 两个方程，两个未知数。

方程一（归一性）：。

方程二（独立性）：先把两个事件翻译成格子。

  • = 第一行 = ，；
  • = 反对角线 = ，；
  • 交事件 ，概率为 。

独立即 ，解得 ，故

回代验证：表格全是 ，，，交事件概率 ✓。

副产品：此时 与 也独立

四格全 ，行列式 。 但这不是白送的——题目只要求”事件 与事件 独立”，一般情况下推不出 与 独立。 反例：把表改成 ，则 ，，交事件概率 ✓ 独立；但 ， 与 不独立。 两个事件独立 ⊊ 两个随机变量独立，后者要求”所有事件对”都独立。见 随机变量的独立性。

880 第十八章基础解答 1

原题 设二维随机变量 的联合分布律为

（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）问 与 是否相互独立？说明理由.

解析

（Ⅰ） 关键翻译：（最小值 ⟺ 两个都 ，这是 min/max 的基本翻译，见 最值的分布）。

只取 ，故 即 ； 取 ，故 恒成立。所以

（Ⅱ） 求边缘：

逐格验证：

四格全部吻合，故 与 相互独立。

另解（行列式判据， 专用，一步出结果）

故独立。

另解（比例观察法，口算最快） 第一行 ，第二行 ——两行成比例，表格作为 矩阵秩为 1，立即独立。

" 表独立 ⟺ 矩阵秩为 1"

独立意味着 ，即整张表 ——一个列向量乘行向量，秩必为 1。 反过来，秩 1 的概率表在归一化后必然分解成边缘之积。 所以”独立 = 联合分布矩阵是秩 1 的（外积）矩阵”，这在 时同样成立：任意两行成比例即独立。 见线代 第11章 矩阵 的秩一矩阵，以及 事件的独立性 的四格表 。

880 第十八章基础解答 5

原题 设二维随机变量 的概率密度为

其他

求：（Ⅰ） 与 的边缘概率密度，并判别 与 是否相互独立；（Ⅱ） 的分布函数 ；（Ⅲ） 的概率密度 .

解析 支撑集是第一象限里直线 上方的无界三角形，先把它画出来——后面三问全靠这张图。

（Ⅰ）边缘（固定 ， 从 到 ——下限是 不是 ，这是斜边带来的。）

即 ，。

独立性：，在 处为正，而该点不在支撑集内（），。故 与 不独立。

支撑集不是矩形 ⟹ 一定不独立（不用算）

独立要求 ，右边非零的区域是 ——一个矩形（可以无界）。 本题支撑集 是三角形，不是任何两个一维集合的乘积，故必不独立。这一句话可以直接当理由写。

（Ⅱ）分布函数 —— 本题的重头戏。

支撑集在第一象限的斜线上方，所以要按动点 落在哪里分段。

情形 1： 或 —— 左下角象限与支撑集不相交，。

情形 2： —— 交出一个梯形（下方被 割掉一角）：

情形 3： —— 此时 已被 自动满足，交出整个下三角：

合起来

或

三重验证（考场上花 20 秒，能救回一整道大题）：

  1. 分界线 上两式相等：情形 2 代 得 ✓
  2. 回到 ：落在情形 3，得 ，正是 的分布函数 ✓
  3. 回到 ：落在情形 2，，得 ，正是 的分布函数 ✓

情形 3 里 没有 ，这不是漏写

因为 恒成立，一旦 ，条件 就被 蕴含了，。 一般规律：支撑集完全落在 一侧时， 在 的半平面上只依赖 。

（Ⅲ）

用卷积公式的联合密度形式（ 不独立，不能用 ！）：，被积函数非零要求 ，即 （这同时要求 ）：

验证： 时值为 （连续，无跳跃）✓；

不独立时 绝不能写

卷积公式的一般形式永远是 （对联合密度积分）； 只有独立时才有 ，退化成教材上那个”卷积”。 本题若误用 会算出 的密度 ，完全错误。

拓展

1000 题基础篇第3章 11

原题 已知二维随机变量 的概率密度为

其他

求 的分布函数 .

解析 与上一题同一个支撑集（ 的无界三角形），只换了被积函数——正好对照着做一遍。

先备好边缘（验算要用）：

情形 1： 或 ：。

情形 2：：

情形 3：：同样地 ，把上式中 换成 ：

或

验证： 时两式相等 ✓； 得 ✓（ 的分布函数）。

副产品： 其实是两个独立 的最大值

正是 （ 独立同服从 ）的分布函数； 而 正是 的分布。 也就是说，这个 就是两个独立 排序后的次序统计量的联合密度： （），系数 来自两种排法。 见 最值与次序统计量，那里 880 综合解答 3 把这个结构完整展开。

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