考研笔记

max 与 min 的分布

🏠 第18章概念导航 · 多维随机变量题库

方法模板

一、两条翻译，全节的地基

max 配""，min 配""——只有这两个方向能拆成交集。另两个方向要先取补：

“并”不好算，所以永远先算能拆成”交”的那一边，再取补。

二、公式表（独立时）

量一般独立独立同分布（ 个）
—
—

求 的密度必须先写 再求导

直接对密度做手脚（比如""）是常见错误。 唯一例外是记熟了上表——但表里的 本身就是 。

三、指数分布的 min 是唯一”保族”的

独立

推导一行：。

物理意义： 是”故障率”，串联系统的故障率 = 各元件故障率之和（谁先坏，整机就坏）。

对照记：相加（还是指数）和或双指数差（不是指数）

max 不保族： 的分布函数是 ，不是指数。

四、次序统计量的联合密度

个独立同分布，排序后 ：

系数 的来历：原来的 个变量有 种排法都落到同一个有序结果上。

时： 于 。

五、 与事件的组合

同时出现 与 的条件，用容斥。记 ，（，独立同分布，）：

都都在

思路：“都 ” 减去 “都 但没有一个 ”。

区间型条件用差：

六、Rényi 分解（指数分布专属，选择题神器）

独立同服从 ，则

且二者独立

于是

期望速查：，。 选择题里对一下期望通常就能定答案。

必考

880 第十八章基础填空 2

原题 设 与 相互独立且均服从参数为 的指数分布，则 的分布函数 .

解析 走”min 配 “这条路：

即

是 ，不是 ，也不是

参数相加：。 直觉检查：——最小值当然比单个更小，参数越大分布越靠左。 若写成 ，均值变成 比原来还大，一验即错。

880 第十八章基础填空 3

原题 设随机变量 均服从区间为 的均匀分布，，则 .

解析 题目没说独立——但它给的那个数值把需要的信息全交代了。

记 ，。由 ：，题设 。所求为

另解（发现独立性） ，故 与 独立，于是

这道题就是 880 基础选择 1 的"右上角公式"的数值版

只要给了 ， 就是白送的，不需要独立性假设。 这一对（ 的分布函数 ↔ 的生存函数）互相决定，是本章反复用到的桥。

命题人把 设成 ，是在暗示独立；但按容斥走根本不用管独立不独立，更稳。

880 第十八章综合填空 1

原题 设随机变量 与 相互独立， 服从二项分布 ， 服从 的泊松分布，则概率 .

解析 区间型条件，用差：

四个一维概率逐个算（ 的分布律：）：

代入：

合理性检查： 的取值以 附近最密（ 的众数是 ， 的众数是 ），落在 上概率接近 是合理的。另外 ✓

离散型下 ，上下界都不能顺手改

若把条件写成 ，就多算了 ；写成 又少了 。 离散型的分布函数差 算的是 ——左开右闭，一个字都不能错。

880 第十八章综合解答 3

原题 设随机变量 和 都在 上服从均匀分布，且 与 相互独立. 求：

（Ⅰ） 和 的概率密度；（Ⅱ） 的联合概率密度.

解析 记 ，，（）。

（Ⅰ） 套公式表（）：

验证：两个密度都是三角形（一个递增、一个递减），各自积分

且 ——最大与最小的密度之和恰是原密度的 2 倍（因为每个 要么是 max 要么是 min）。这是个好用的验算。

（Ⅱ） 注意 恒成立（ 几乎处处），所以联合密度只在 上非零。

方法一（次序统计量公式，一步） ，：，方法二（从分布函数推，稳妥） 对 ：

（第二项是”两个都落在 内”。）求混合偏导：

其他

验证：三角形区域面积 ，乘以密度 得 ✓

在三角形上均匀分布，且 不独立

支撑集是三角形不是矩形 → 一票否决（见 独立性的判定）。 直觉：知道了 ， 就只能落在 里——范围被限制了，当然相依。 但对指数分布， 与 是独立的（Rényi 分解）——这是指数分布独有的奇迹，均匀分布没有。

1000 题基础篇第3章 9

原题 某系统由两个相互独立工作的元件串联而成，只要有一个元件不工作，系统就不工作，设第 个元件的工作寿命为 ，已知 .

（1）求该系统的工作寿命 的概率密度 ；（2）证明：对任意的 ，有 .

解析

（1） “串联 + 一个坏就整机坏” ⟹ 系统寿命是最小值：

故 ：

（2） 记 。对 ，因 ：

证毕。

这道题的真正含义： 无记忆性对 min 封闭

两个无记忆的元件串起来，整机还是无记忆的——“用了 10 年的系统和新系统一样好”。 这是指数分布在可靠性理论里的地位所在，也解释了为什么 叫恒定故障率。

反面：并联系统（都坏才坏，寿命 ）没有无记忆性。 对应的故障率随时间递增——用旧了确实更容易坏。 这一对（串联无记忆 / 并联有记忆）是第17章浴盆曲线的最小模型。

1000 题强化篇第5章 3

原题 设 独立同分布于参数为 的指数分布，令 ，则与 同分布的是（　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析 最快的路：先对期望。

（或直接积分：。）

四个选项的期望（）：

选项期望
A. ✗
B. ✓
C. ✗
D. ✗

只有 B 期望对得上，选 B。

严格验证（Rényi 分解） 把 B 写成 。注意

因

所以 B 是一个 与一个独立的 之和。而 Rényi 分解说

与独立

正是同一个卷积，故同分布 ✓

再验一遍密度：

而 的卷积（用双指数差通式，）：

完全一致。

里的 必须理解成两个独立的 ，不是原题那两个

选项在说”存在两个独立同分布的 使得这个组合与 同分布”。 由 iid 的对称性，，所以写成哪一个都行。

这个结论值得单独背下来：

它是”指数分布的次序统计量间隔独立”的直接后果，第21章讲样本次序统计量时还会用。

1000 题强化篇第5章 5

原题 设 是来自总体 的简单随机样本，，已知 的概率密度为 则 .

解析 先因式分解，这是本题的全部：， 是若干个 的最大值，（指数分布取正值）。所以

的具体分布完全没用上——这就是命题人的玩法

题目大费周章告诉你 是 个变量的最大值，其实只需要一件事： 恒成立。 一个正因子不改变乘积的符号，直接约掉。

反过来提醒：若 的取值能取负（比如正态）， 的符号就不定，必须分 与 两支——那才是真正要用到 分布的情形。 看到乘积的不等式，第一步永远是”能不能定出某个因子的符号”。

拓展

1000 题强化篇第5章 8

原题 设 是来自总体 的简单随机样本，，已知 的概率密度为

（1）求 的分布函数；（2）求 .

题源说明

原题的 没写下标范围。按上一题（，刻意排除第一个变量）的同款体例，这里取 是对 而言，不含 ——只有这样 才与 独立，第（2）问才能分解。若把 也算进 ， 与 强相依，答案将依赖 的复杂积分，不合考研体例。

解析 记 ， 独立同分布，。

（1） 先求 ：，。因 ，有 ；且 在 上严格递减，所以（递减变换要翻不等号，见第17章）对 ：

（ 连续， 与 不必区分。）

验证： 时 ， ✓； 时 ， ✓； 随 增而增（因 递增， 递减， 次幂递减，取 后递增）✓

（2） 先因式分解：，乘积为负 ⟺ 两个因子异号。因 与 独立（ 只依赖 ）：，四个概率（记 ）：

（，仍是递减翻转。）

整理（，且 ）：

验证（取 ） 此时 ，事件 。因 与 同号，事件等价于 ，即 ——两个都小于 1 或都大于 1：，公式给： ✓

两道题（5-5 与 5-8）是同一招的两级台阶

5-5：一个因子符号确定（），直接约掉； 5-8：两个因子符号都不定，先因式分解，再按符号组合分两支。

乘积型不等式先因式分解定符号或分支

这种”四项凑因式”是命题人的固定手法（），看到就该条件反射。

1000 题强化篇第4章 7

原题 设一组两台机器同时启动开始制作产品，其独立工作时间 均服从参数为 1 的指数分布， 表示两台机器较早出现故障的时间，且收益

（1）求 ；（2）若有 组机器承接制作产品的任务，收益大于 0 的组数记为 ，记 ，在 的条件下，，求 的概率分布.

解析

（1） “较早出现故障” ⟹ 。

（ 当且仅当 ； 时 不满足。）

（2） 记 ，。这是泊松稀释（Poisson thinning）的标准题型。用全概率公式（对 分解）：

（ 时 ； 时 ，与 一致。）

把 代入，并令 ：

即 。代入 ：

泊松稀释定理，值得当公式记

“泊松流被随机筛一遍，还是泊松流，强度乘上通过率。”

更强的版本：被筛掉的那部分 ，且与 独立（这一点很反直觉，因为 是随机的）。

命题人把 、 设成乘积恰好是 2 的漂亮数字，正是在提示这条定理——答案的干净程度是读法正确的旁证。

别把 当成 就算完

本身是随机的， 不是二项分布（二项分布的 必须是常数）。 必须用全概率公式对 求和。这是本章”全集分解法”在离散 离散上的应用。

与第16章的贝叶斯三段式对照：那里是”先验 → 更新 → 预测”，这里是” 的先验 → 条件二项 → 边缘泊松”，同一个结构。

链接

反向链接