随机变量函数的分布
🏠 第17章概念导航
核心问题
已知
本章最大的一块题（本章 61 题里有 21 题属于这一族）。难点从来不在积分，而在把不等式解对、把分段写全。
核心定义 / 定理 / 结论
两条路
分布函数法（万能，推荐）
公式法（只对严格单调可导的
考场优先走分布函数法：不要求单调、不容易漏绝对值，而且顺手把
四步流程
- 先定
的取值范围——把 的支撑代进 。这一步定了答案的分段结构，漏掉必错。 - 解不等式
，得到 。 递增： ； 递减： 。
- 用
表示（连续型时 与 不必区分）。 - 求导，写全分段（范围外补 0）。
多值反函数求和公式
若
“每个原像各贡献一份密度。” 单调时只有一个根，退化为公式法。
两个必背特例：
原像可以有无穷多个：
答案必须写成级数，除非题目限定
分段定义的
两块互斥，各自内部单调。 先看
（第16章 加减法公式 那两行的原样复用。）
注意”自身与自身函数”取极值时先定值域：
取整变换：连续变离散
指数取整必得几何分布（无记忆性的传递）。
混合型的产生
把
混合型没有密度，只能写分布函数。
自查三件事
？出现负号 → 漏了绝对值或漏了 ； 单调不减、从 0 爬到 1？扫一眼形状就能抓漏项； - 分段点衔接？
连续型时 必连续。
极限自查最灵：让参数取极端值，看答案是否符合直觉。
只问期望就别求分布（LOTUS）
求
典型题型
- 单调变换（
、 、 、 ） 、 （折叠相加） - 分段定义的
（拆两块） （拆成交或并） - 取整（连续变离散）
- 无穷多原像（
，答案是级数） - 概率积分变换（
）
图示 / 直觉
把
单调： 是一条射线 → 一个 ； 是抛物线（ ）： 是一个区间 → 两个 相减； 是正弦： 是无穷多段的并 → 级数； 有平段（截断）：那一段的 全部映到同一个 → 原子。
密度变换的雅可比因子：把
这就是”平移与翻转保积分、伸缩不保”的原因：
折叠的直觉：
常见误用
1. 递减变换漏了
自查：
2. 公式法忘了绝对值
3. 没先定
结果分段写错，或在范围外算出非零密度。四步流程的第一步不可跳。
4. 非单调却用公式法
5. 分段变换只算了一支
6.
7. 公式法要求”反函数可导”，不是”原函数可导”
8. 混合型硬写密度
有原子就没有密度，只能写
9. 概率积分变换用错了
10. 只问期望却去求分布
用 LOTUS。求
11. 同分布当成相等或独立
与旧知识的连接
高数：
- 反函数求导
、复合函数求导、变限积分求导——全是核心工具； - 解不等式、判单调、求值域：一元函数的基本功；
- 幂指函数
先取对数，是高数的老办法； - 换元积分
与密度变换公式是同一个雅可比。
第16章：
- 第18章：二维变换、卷积公式
，本页的二维版； 的分布函数； - 第19章：LOTUS 正式登场，
不必求分布； - 第21章：三大抽样分布全部由正态经变换得到（
用的就是 的折叠公式）。
题型训练
- 单调变换求分布（6 题）
- 非单调与分段变换（9 题）
- 概率积分变换与混合型分布（6 题）
三节合计 21 题，占本章池的三分之一以上，是第17章的绝对重心。